Question

A equação log(x + 2) + log(x - 2) = 1: a) tem duas raízes opostas. b) tem uma única raiz irracional. c) tem uma única raiz menor que 3. d) tem uma única raiz maior que 7. e) tem conjunto solução vazio

gente é urgente ajudem ai belê!!!

Answer 1

Temos que:

$\sf log(x + 2) + log(x - 2) = 1$

Primeiro devemos fazer a condição de existência do logaritmando desse logaritmo, para isso você deve lembrar que o logaritmando deve ser maior que 0.

$\sf log_{a}(b) = c \rightarrow \begin{cases} \sf a \rightarrow base \: (a > 0 \: \: e \: \: a \neq1) \\ \sf b \rightarrow logaritmando \: (b > 0) \\ \sf c \rightarrow logaritmo\end{cases}$

Fazendo os cálculos, temos que:

$\sf \begin{cases} \sf (x - 2) > 0 \\ \sf x > 2\end{cases}\sf \begin{cases} \sf (x + 2) > 0 \\ \sf x > - 2 \end{cases}$

Então o nosso resultado deve ser maior que -2 e maior que 2.

• Para iniciar de fato os cálculos, vamos lembrar da propriedade da soma de Log's:

$\sf log_{a}(b) + log_{a}(c) = log_{a}(b.c)$

Aplicando:

$\sf log(x + 2) + log(x - 2 ) = 1 \\ \sf log(x + 2).( x - 2) = 1$

Agora devemos usar a definição de logaritmo, que fala:

• A base elevada ao logaritmo é igual ao logaritmando.

Algebricamente:

$\sf log_{a}(b) = c \rightarrow a {}^{c} = b$

Aplicando:

$\sf log (x + 2).( x - 2) = 1 \\ \\ \sf (x + 2).(x - 2) = 10 {}^{1} \\ \sf x {}^{2} - 4 = 10 \\ \sf x {}^{2} = 10 + 4 \\ \sf x {}^{2} = 14 \\ \boxed{\sf x = \sqrt{14} }$

O número resultado da raiz de 14 está entre a raiz de 16 e a raiz de 9, então:

$\sf \sqrt{9} < \sqrt{14} < \sqrt{16} \\ \sf3 < \sqrt{14} < 4$

Ou seja, nosso valor está entre 3 e 4.

• Resposta: b) Tem uma única raiz irracional

Espero ter ajudado