Question

A equação log(x+2) - log(2x-1)=log a admite solução em R, quando e somente quando:
a) a>2
b) 0<a<1/2
c) a>0
d) a>1/2
e) a>5/4​

Answer 1

Resposta:

Conforme abaixo, 2 respostas são válidas:

b) 0<a<1/2, e

d) a>1/2

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

log(x+2) - log(2x-1)=log a

log a= log(x+2) - log(2x-1)

log a= log (x+2)/(2x-1)

a= (x +2)/(2x -1)

a.(2x -1) = x + 2

2a.x -a -x -2 = 0

x.(2a -1) -(a + 2) = 0

x.(2a -1) = (a + 2)

x= (a+2)/(2a -1) (I)

De (I) já temos que 2a -1 <> 0, logo a <> 1/2

Como a é um elemento de log, então a > 0

x+2 é elemento de log, logo x+2 > 0 => x > -2. Portanto:

(a+2)/(2a -1) > -2

a+2 > -2.(2a -1)

a+2 > 2 - 4a

a + 4a > 2 - 2

5a > 0

a > 0 (ok!)

2x-1 é elemento de log, logo 2x-1 > 0 => x > 1/2. Portanto:

(a+2)/(2a -1) > 1/2

a+2 > (1/2).(2a -1)

a+2 > a - 1/2

2 > -1/2 (ok!)

Assim, podemos ver que a equação terá solução quando 0<a<1/2 ou quando a>1/2

Blz?

Abs :)