Question

a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2) e é perpendicular a reta da equação [x=-4+3t/y=1+2t é /z=t

Answer 1

Vetor diretor são os coeficientes da incógnita  t => v = (3, 2, 1)

                                                                                       ( a, b, c)

 

Ponto A ( 2, 1, -2)

              (x,  y,  z )

 

Equação Geral do Plano

ax + by + cz + d = 0

Substituí-se:

 

3.2 + 2.1 + 1. (-2) + d = 0

6 + 2 – 2 + d = 0

6 + d = 0

d = - 6

Voltamos a Equação:

3x + 2y + z -6 = 0

Answer 2

A equação geral do plano é 3x + 2y + z - 6 = 0.

Equação geral do plano

Seja P(x, y, z) um ponto que pertence ao plano, temos que se ele passa pelo ponto A, o vetor PA deve ser perpendicular ao vetor normal N de forma que:

N·PA = 0

As equações reduzidas da reta no espaço podem ser encontradas por um ponto A(x0, y0, z0) e por um vetor diretor v = (a, b, c):

(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c

Como já conhecemos as equações paramétricas, basta isolar t:

t = (x + 4)/3 = (y - 1)/2 = z

v = (3, 2, 1)

Como v é o vetor diretor da reta perpendicular ao plano, v será o vetor normal ao plano. O vetor PA será:

PA = (x - 2, y - 1, z + 2)

Calculando o produto escalar:

(3, 2, 1)·(x - 2, y - 1, z + 2) = 0

3·(x - 2) + 2·(y - 1) + 1·(z + 2) = 0

3x - 6 + 2y - 2 + z + 2 = 0

3x + 2y + z - 6 = 0

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