Question

A equação em x, $ArcTg(e^{x}+2) - ArcCotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1 } )$ . Com X ∈ R \ {0}

A)Admite Infinitas soluções todas positivas
B)Admite uma unica solução e é positiva
C)Admite três soluções que se encontram no intervalo ]-5/2;3/2[
D)Admite apenas soluções negativas
E)Não há nenhuma solução

Gabarito B

Answer 1

Resposta:

Letra B - Admite uma unica solução e é positiva

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Essa questão é trabalhosa, mas vamos nessa.  Primeiro vou reescrever a equação:

$arctg (e^{x}+2) = \frac{\pi}{4} + arccotg(\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})$ (1)

Vale lembra que a função tg x é a inversa de arc tg x, logo tg (arc tg x) = x, por esse raciocínio, vamos aplicar tg em ambos os lados da equação (1), daí temos:

$tg[arc tg (e^{x}+2)] = tg(\frac{\pi }{4} + arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}))$

Do lado esquerdo, temos:

$tg[arc tg (e^{x}+2)] = e^{x}+2$

Do lado direito, vamos aplicar tangente da soma, conforme os cálculos abaixo:

$tg[\frac{\pi }{4} + arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})] = \frac{tg \frac{\pi }{4} + tg (arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}))}{1 -tg\frac{\pi }{4}.tg (arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}))}\\\\tg[\frac{\pi }{4} + arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})] =\frac{1 + tg (arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}))}{1 -tg (arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}))}$ (2)

Agora vamos fazer a seguinte consideração na equação (2):

$\beta = arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1} )\\\\ cotg \beta =\frac{e^{x}}{e^{2x}-1} \\\\\frac{1}{tg \beta } = \frac{e^{x}}{e^{2x}-1} \\\\tg \beta = \frac{e^{2x}-1}{e^{x}}\\\\arctg (tg \beta) = arc tg (\frac{e^{2x}-1}{e^{x}})\\\\\beta = arc tg (\frac{e^{2x}-1}{e^{x}})$

Substituindo esse novo valor de $\beta$ na equação (2), temos:

$tg[\frac{\pi }{4} + arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})] =\frac{1 + tg (arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})}{1 -tg (arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})}\\\\tg[\frac{\pi }{4} + arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})] =\frac{1 + tg (arc tg (\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}))}{1 -tg (arc tg (\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}))}=\frac{1 +\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}}{1 -\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}}\\\\tg[\frac{\pi }{4} + arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})] =\frac{\frac{e^{x}+e^{2x}-1}{e^{x}} }{\frac{e^{x}-e^{2x}+1}{e^{x}} }$

$tg[\frac{\pi }{4} + arc cotg (\frac{e^{x}}{e^{2x}-1})] =\frac{{e^{x}+e^{2x}-1}}{{e^{x}-e^{2x}+1}}$

Igualando o lado direito e o esquerdo, temos:

$e^{x} +2=\frac{{e^{x}+e^{2x}-1}}{{e^{x}-e^{2x}+1}}\\\\e^{2x}-e^{3x}+e^{x}+2e^{x}-2e^{2x}+2=e^{x}+e^{2x}-1\\\\-e^{3x}+2e^{2x}-2e^{x}-3=0\\\\+e^{3x}-2e^{2x}+2e^{x}+3=0$

Chamando $e^{x} = y$, temos:

$+y^{3}-2y^{2}+2y}+3=0\\\\(y+1).(y^{2}+y-3)=0\\\\y_{1} = -1\\\\y_{2} = \frac{-1+\sqrt{13} }{2} \\\\y_{3} = \frac{-1-\sqrt{13} }{2}$

Como $e^{x} = y$, temos que y1 e y3 são desconsiderados, pois são negativos, daí só temos y2, ou seja,

$e^{x} = y_{2} = \frac{-1+\sqrt{13} }{2}\\\\ln (e^{x}) = ln (\frac{-1+\sqrt{13} }{2})\\\\x =ln(\frac{-1+\sqrt{13} }{2})$

Admite uma unica solução e é positiva.

Letra B

Bons estudos!!