Question

A equação do plano tangente ao hiperboloide x^2-y^2+2z^2=1 no ponto (3,4,2) é:

Answer 1

✅ Após ter desenvolvido todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à superfície do hiperbolóide pelo ponto "T" é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 6x - 8y + 8z - 2 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                      $\Large\begin{cases} h: x^{2} - y^{2} + 2z^{2} = 1\\ T(3, 4, 2)\end{cases}$

Sabendo que para determinar a equação geral do plano "π" tangente à superfície de nível, precisamos do vetor normal "n" ao referido plano e o ponto de tangencia "T" entre o plano e a superfície, ou seja, precisamos dos seguintes itens:

                       $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{n},Y_{n},Z_{n})\\T(X_{T}, Y_{T}, Z_{T})\end{cases}$

Sabendo que a equação geral do plano pode ser montada sobre a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered}X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A função "f" - que vou me referir a partir de agora - se refere a função que representa o hiperbolóide de revolução "h".

Para montar a referida equação do plano devemos utilizar as seguintes etapas:

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{df}{dx} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$  

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{df}{dy} = -2\cdot y^{2 - 1} = -2y\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{df}{dz} = 2\cdot2\cdot z^{2 - 1} = 4z\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente da função:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{df}{dx},\:\frac{df}{dy},\:\frac{df}{dz}\Bigg)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2x, -2y, 4z)\end{gathered}$

         Portanto, o vetor gradiente é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = (2x, -2y, 4z)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal "n" ao ponto "T":

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \nabla f(T)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{df}{dx}\cdot X_{T},\:\frac{df}{dy}\cdot Y_{T},\:\frac{df}{dz}\cdot Z_{T}\Bigg)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2\cdot3,\:(-2)\cdot4,\:4\cdot2)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (6, -8, 8)\end{gathered}$

           Portanto, o vetor normal ao plano pelo ponto "T" é:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (6, -8, 8)\end{gathered}$

• Montar a equação geral do plano tangente ao ponto "T":

        Substituindo os valores na equação "I", temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6\cdot x + (-8)\cdot y + 8\cdot z = 6\cdot3 + (-8)\cdot4 + 8\cdot2\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x - 8y + 8z = 18 - 32 + 16\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x - 8y + 8z = 2\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x - 8y + 8z - 2 = 0\end{gathered}$

Portanto, a equação geral do plano é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 6x - 8y + 8z - 2 = 0\end{gathered}$

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Solução gráfica: