Question

A equação do plano pode ser determina a partir de um ponto e de um vetor normal ao plano. Se conhecemos três pontos pertencentes a um plano podemos traçar uma estratégia para determinar a equação do plano a partir desses três pontos. Use os conhecimentos adquiridos na disciplina de geometria analítica para determine a equação do plano que contém os pontos A (2,5,4), B (1,2,3) e C (2,7,5).

Answer 1

A equação do plano que contém os pontos A, B e C é α : x+3y-6z+7=0

Para determinar o ponto, primeiro temos que referenciar estes pontos aos vetores

Estes vetores são em função de um ponto, vamos referenciar em função do ponto A(2,5,4)

Vamos primeiro determinar os vetores PA e PC

Para tal geramos os vetores

$PA=(B)-(A)\\\\\\PA=(1,2,3)-(2,5,4)\\\\\\PA=(3,-3,-1)\\\\\\PC=(C)-(A)\\\\\\PC=(2,7,5)-(2,5,4)\\\\\\PC=(0,2,1)$

Logo em seguida faremos o produto vetorial entre os vetores

Para determinação do Vetor Normal

$PC\cdot{PA}=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&2&1\\3&-3&-1\end{array}\right] \\\\\\PC\cdot{PA}=-2i+3j+0k-(0j+-3i+6k)\\\\\\PC\cdot{PA}=-2i+3j+3i-6k\\\\\\PC\cdot{PA}=+i+3j-6k$

Temos, portanto o Vetor Normal

Equação do plano

Ax0+By0+Cz0+d=0

Sendo a=+1(i)

           b=+3(j)

           c=-6(k)

Ponto A(2,5,4)

$1\cdot{2}+3\cdot{{5}+(-6)\cdot{4}+d=0$

$2+15-24+d=0\\\\\\-7+d=0\\\\\\d=7$

Agora de posse do Vetor Normal, poderemos, enfim, determinar a equação do plano

Equação do plano

Substituir os pontos do Vetor Normal (i, j e k) e acrescentar o termo independente "d"

α: $x+3y-6z+7=0$

Para saber mais acesse o link abaixo

Equação plano

brainly.com.br/tarefa/21996370

Answer 2

A equação do plano que contém os pontos A, B e C é x - y + 2z - 5 = 0.

Equação geral do plano

Seja P(x, y, z) um ponto que pertence ao plano, temos que se ele passa pelo ponto A, o vetor PA deve ser perpendicular ao vetor normal N de forma que:

N·PA = 0

Dados os três pontos do plano, podemos encontrar dois vetores LI:

AB = (1 - 2, 2 - 5, 3 - 4)

AB = (-1, -3, -1)

AC = (1 - 2, 2 - 7, 3 - 5)

AC = (-1, -5, -2)

O vetor normal ao plano é igual ao produto vetorial entre AB e AC:

$AB\times AC=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&-3&-1\\-1&-5&-2\end{array}\right|$

N = (6 - 5)·i + (1 - 2)·j + (5 - 3)·k

N = (1, -1, 2)

Utilizando o ponto A e um ponto P(x, y, z), teremos:

N·PA = 0

(1, -1, 2)·(x - 2, y - 5, z - 4) = 0

x - 2 - y + 5 + 2z - 8 = 0

x - y + 2z - 5 = 0

Leia mais sobre equações do plano em:

https://brainly.com.br/tarefa/9284537

#SPJ2