Question

A equação diferencial que modela a intensidade de corrente I=I(t) em um circuito elétrico simples pode ser dada por Ldl/dt+Ri=e. Encontre a equação da intensidade de corrente I=I(t) em um circuito elétrico no qual a força eletromotriz E do gerador é 30 v, a indutância L é 4 henry, a resistência R é 8 ohms e a intensidade de corrente inicial é I(0)=0.

Answer 1

Olá,

Substituindo os valores e arrumando a equação diferencial teremos:

$\frac{di}{dt}+2i=\frac{30}{4}$

Usando o método de separação das variáveis teremos:

$\frac{1}{\frac{30}{4}-2i } di = dt$

Integrando dos dois lados teremos :

$\frac{ln(\frac{30}{4}-2i) }{-2} +C = t+C  \\ \\ ln(\frac{30}{4}-2i) = -2t+C\\ \\ \frac{30}{4}-2i = e^{-2t+C}\\ \\2i=\frac{30}{4} -C.e^{-2t}\\ \\ 2i=\frac{30}{4} +C.e^{-2t}\\ \\ i=\frac{30}{8} +C.e^{-2t}$

Substituindo as condições iniciais:

$i=\frac{30}{8} +C.e^{-2t}\\ \\ 0=\frac{30}{8} +C.e^{-2.0}\\ \\ C=-\frac{30}{8}$

Resposta Final: $i=\frac{30}{8} -\frac{30}{8}.e^{-2t}= \frac{30}{8}(1-e^{-2t})$