Question

a equação diferencial dy/dx = (y² +1), satisfaz a condição y (1). Então, o valor mais proximos de y, para que x=2

Answer 1

É dada a equação:

$\dfrac{dy}{dx}=y^2+1$  

Note que a equação é separável. Desenvolvendo-a:

$\dfrac{dy}{dx}=y^2+1\\\\ \dfrac{dy}{y^2+1}=dx\\\\ \displaystyle\int\dfrac{dy}{y^2+1}=\int dx\\\\ \arctan(y)=x+C~~(i)$

Podemos descobrir o valor da constante C usando a condição $y(1)=0$ na equação (i):

$\arctan(y)=x+C\\\\ \arctan(0)=1+C\\\\ 0=1+C\\\\ C=-1$

Substituindo o valor obtido acima para C na expressão (i):

$\arctan(y)=x+C\\\\ \arctan(y)=x-1\\\\ y(x)=\tan(x-1)$

Calculando y(2):

$y(x)=\tan(x-1)\\\\ y(2)=\tan(2-1)\\\\ \boxed{y(2)=\tan(1)}$

Usando uma calculadora, vemos que y vale, aproximadamente 1,557. Logo, o valor mais próximo de y nas opções é $y=1,55\Longrightarrow \text{Letra }\bold{D.}$.