Question

A equação diferencial 4y" - 8y' + 3y = 0 tem solução geral y(t) = C1e(3t/2) + C2et/2.

Determine a solução particular considerando as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 1/2.

Answer 1

Olá,

Devemos substituir as condições iniciais na equação, e assim determinar o valor de C1 e C2, vejamos:

y(0)=2

$C1.e^{3.0/2}+C2.e^{0/2} = 2\\ \\ C1+C2=2$

A derivada de y(t) é:

$(3/2)C1.e^{3t/2}+(1/2)C2.e^{t/2}$

y'(0)=1/2

$(3/2)C1.e^{0t/2}+(1/2)C2.e^{0/2}=1/2\\ \\ (3/2)C1+(1/2)C2=1/2$

Note que agora temos duas equações, logo podemos formar um sistema e resolve-lo, vejamos:

$C1+C2=2\\  (3/2)C1+(1/2)C2=1/2\\ \\ Resolvendo... \\ \\ C1+C2=2\\ (-2)*[ (3/2)C1+(1/2)C2]=1/2*(-2) \\ \\ C1+C2=2\\ -3C1-C2=-1 \\ \\ -2C1=1\\ \\  C1=-1/2\\ \\ -1/2+C2=2\\ \\ C2=5/2$

Logo a Solução particular será:

$Sp=(-1/2).e^{3t/2}+(5/2).e^{t/2}$