Question

A Equação de Torricelli

Usando cálculo diferencial, justifique a validade da fórmula
v^2 = $v_0$^2 + 2a.(s − s0)

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação:

A terceira equação de movimento relaciona velocidade e posição. Por extensão lógica, deve vir de um derivado que se parece com isso

$\displaystyle\frac{dv}{ds} =?$

Bem, nada por definição, mas como todas as quantidades, ele se iguala. Igualmente iguala-se multiplicado por 1. Usaremos uma versão especial de 1  $\left(\displaystyle\frac{dt}{dt}\right)$  e  uma versão especial de álgebra (álgebra com infinitesimais).

∴                                           $\displaystyle\frac{dv}{ds} =\displaystyle\frac{dv}{ds} .1$

∴                                    $\displaystyle\frac{dv}{ds} =\displaystyle\frac{dv}{ds} .1=\displaystyle\frac{dv}{ds}\displaystyle\frac{dt}{dt}$

∴                                     $\displaystyle\frac{dv}{ds} =\displaystyle\frac{dv}{ds} .1=\displaystyle\frac{dv}{dt}\displaystyle\frac{dt}{ds}$

∴                                           $\displaystyle\frac{dv}{ds} =a\frac{1}{v}$

Próximo passo, separação de variáveis. Junte coisas semelhantes e integre-as. Aqui está o que obtemos quando a aceleração é constante

                                        $\displaystyle\frac{dv}{ds} =a\frac{1}{v}$

∴                                   $vdv=a ds\\\displaystyle\int\limits^v_{v_0} {vdv}=\int\limits^s_{s_0} ads$

∴                                     $(1/2)(v^2-v_0^2)=a(s-s_0)$

Obtemos

$v^2=v_0^2 + 2a\Delta s$

Bons estudos