Question

A equação de demanda de um certo produto é P= 4 - 0,0002x, onde P é o preço de cada unidade produzida semanalmente. O custo total de x unidades é C(x) = 600 + 3x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, calcule o preço de cada unidade e esse lucro.

Answer 1

p = 4 - 0,0002x ⇒ Demanda por semana 
c = 600 + 3x ⇒ Custo por unidade 

Para o lucro, teremos: 

Lucro = Receita - Custo 
Receita é o produto dos artigos pela demanda, ou seja (x . p) 

L = r - c 
L = x . p - (600 + 3x) ⇒ Substituindo p 
L = x . (4 - 0,0002x) - 600 - 3x 
L = 4x - 0,0002x² - 600 - 3x 
L = -0,0002x² + x - 600 

Derivando a função do Lucro: 

L' = -0,0004x + 1 ⇒ Achar quando é máximo fazendo L' = 0 
-0,0004x + 1 = 0 
0,0004x = 1 
x = 1 / 0,0004 
x = 2500 
.......................................... 

Preço de cada unidade, substituir (2500) na função da demanda: 

p = 4 - 0,0002x 
p = 4 - 0,0002 . 2500 
p = 4 - 0,5 
p = 3,5 ⇒ Como é em reais 
p = R$ 3,50 
.......................................... 

E o lucro semanal é dado quando são vendidas as 2500 unidades. Substituindo: 

L = -0,0002x² + x - 600 
L = -0,0002 . 2500² + 2500 - 600 
L = -0,0002 . 6250000 + 1900 
L = -1250 + 1900 
L = 650 ⇒ Como é dado em reais 
L = R$ 650,00