Question

A equação da vetorial da reta que é a interseção dos planos II para I $\left \{ {{x+2y-z-1=0-\ \textgreater \ I} \atop {x+y+1=0-\ \textgreater \ II}} \right.$



a) r: (x,y,z) = (-3,2,0) + t(-1,1,1)


b) r: (x,y,z) = (-3,2,0) + t(-1,1,3)


c) r: (x,y,z) = (3,2,0) + t(-1,1,1)


d) r: (x,y,z) = (-3,2,0) + t(1,1,1)


e) r: (x,y,z) = (-3,2,1) + t(-1,1,1)

Answer 1

Olá

Alternativa correta, letra A)

A intersecção entre planos é bem simples, basta somar os planos.
Resolve como um sistema, só que nesse caso, temos 2 linhas e 3 variáveis, então temos que multiplicar uma das linhas por um valor k, para que quando somarmos as equações, uma variável cancele a outra. 
Após feito isso, teremos 2 variáveis e 1 linha, ai deixamos uma variável dependente da outra, ex: x+y=0  -> x=-y... 

$\displaystyle \left \{ {{x+2y-z-1=0} \atop {x+y+1=0~~ ~~ ~~~}} \right. \\ \\ \\ \text{Multiplica a primeira equacao por (-1), com isso eliminaremos o 'x'} \\ \\ \\ \left \{ {{x+2y-z-1=0~~ ~~ ~~ ~~~~\cdot(-1)} \atop {x+y+1=0~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~}} \right. \\ \\ \\ \text{Soma as duas equacoes} \\ \\ \\ \left \{ {{-\diagup\!\!\!\!\!x-2y+z+1=0} \atop {\underline{\diagup\!\!\!\!\!x+y+1=0~~~~~~}} \right. \\ \\ \\ -y+z+2=0 \\ \\ \\ \text{Deixa em funcao de y}$

$-y=-2-z ~~~~~~~ ~~~~ \cdot(-1)\\ \\ \boxed{y=2+z} \\ \\ \\ \text{Volta em qualquer equacao do plano, e substitui o valor de 'y'} \\ \text{substituindo na equacao 2} \\ \\ \\ x+y+1=0 \\ \\ x+(2+z)+1=0 \\ \\ x+z+3=0 \\ \\ \boxed{x=-3-z}$

O 'z' é o termo dependente... Implica que 'z=z'

Temos de fazer uma troca de variável para podermos utilizar o 'z' (coordenada).

z = t

Agora que encontramos todos os valores das coordenadas (x,y,z) basta criar a reta.

Acho mais fácil de visualizar quando as retas estão na forma paramétrica, então primeiro vou por elas na forma paramétrica, e depois coloco na forma vetorial

Só para esclarecer,  o "z" que deixamos como em função de outras variáveis, é o nosso vetor.
ex: x=-3-z ; o -3 é o nosso ponto, e o -z é o nosso vetor que é -1

$r: \left\{\begin{array}{lll}x~=-3-t~\\y~=2+t~\\z~=~t\end{array}\right \\ \\ \\ \\ \text{Passando para a forma vetorial} \\ \\ \\ \\\boxed{ r: (x,y,z)=(-3,2,0)+t(-1,1,1)}$




Qualquer dúvida deixem nos comentários.

Answer 2

Resposta:

 r: (x,y,z) = (-3,2,0) + t(-1,1,1)

Explicação passo a passo:

Corrigida pela Ava