Question

A equação da retas que passa pelo ponto P(2,-1) e é perpendicular à retar de equação 3x + y - 2
= 0 é:

Answer 1

Logo, a equação da reta s é:

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf -\:x + 3y +5 = 0 }$

Se duas retas r e s são perpendiculares, então o produto de seus coeficientes angulares é - 1, ou seja:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf r \perp s \Leftrightarrow m_1\cdot m_2 = -\: 1 \quad \textrm{ \sf ou }\quad r \perp s \Leftrightarrow m_2 = -\: \dfrac{1}{m_1} }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases}\sf P\:( 2,-\:1) \\ \sf3x + y -\: 2= 0 \end{cases}$

Primeiro devemos calcular coeficiente angular $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_1 }$ da reta.

$\displaystyle \sf 3x + y - 2 = 0$

$\displaystyle \sf y = -\:3x + 2$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf m_1 = -\: 3 }$

Calcular o coeficiente angular $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_2 }$ da reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$ sendo que $\boldsymbol{ \textstyle \sf s \perp r }$:

$\displaystyle \sf m_2 = \dfrac{-\: 1}{m_1}$

$\displaystyle \sf m_2 = \dfrac{-\: 1}{-\: 3}$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf m_2 = \dfrac{1}{3} }$

Equação da reta s que passa pelo ponto P ( 2, - 1 ):

$\displaystyle \sf y -y_0 = m_2 \cdot (x -x_0)$

$\displaystyle \sf y -(-1) = \dfrac{1}{3} \cdot (x -2)$

$\displaystyle \sf y +1 = \dfrac{x}{3} -\dfrac{2}{3}$

$\displaystyle \sf -\: \dfrac{x}{3} + y +1 + \dfrac{2}{3} = 0$

$\displaystyle \sf -\: \dfrac{x}{3} + y + \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$

$\displaystyle \sf -\: \dfrac{x}{3} + y + \dfrac{5}{3} = 0 \to {\text{\sf multiplicando por 3 em ambos os termos: }}$

$\displaystyle \sf -\: \dfrac{ \diagdown\!\!\!\! {3} x}{\diagdown\!\!\!\! { 3} } + 3 \cdot y + \dfrac{ \diagdown\!\!\!\! {3} \cdot 5}{\diagdown\!\!\!\! {3} } = 3 \cdot 0$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf - \: x + 3 y + 5 = 0 }}}$

Logo, a equação da reta s é:

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf -\:x + 3 y + 5 = 0 }$

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/46501571

Answer 2

✅ Dizemos que duas retas são perpendiculares entre si quando o produto de seus coeficientes angulares resultar em "-1".

Se nos foi dado a equação geral da reta "r" cuja lei de formação é:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}r: 3x + y - 2 = 0 \end{gathered}$

E o ponto P:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}P(2, -1)\:|\:P\in s\:\perp r \end{gathered}$

Se:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}r \perp s\:\Longleftrightarrow m_{r}\cdot m_{s} = -1 \end{gathered}$

Para encontrar a equação da reta "s" perpendicular à reta "r" passando por P, devemos:

• Encontrar a equação reduzida da reta "r";

         $\large\displaystyle\begin{gathered}3x + y - 2 = 0 \end{gathered}$

                          $\large\displaystyle\begin{gathered}y = -3x + 2 \end{gathered}$

         Portanto, a equação reduzida da reta "r" é:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}r: y = -3x + 2 \end{gathered}$

• Obter o coeficiente angular da reta "r" - em sua forma reduzida;

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}m_{r} = -3 \end{gathered}$

• Calcular o coeficiente angular da reta "s";

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}m_{r}\cdot m_{s} = -1 \end{gathered}$

                          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}m_{s} = -\frac{1}{m_{r} } \end{gathered} }$

                          $\large\displaystyle\begin{gathered}m_{s} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \end{gathered}$

                          $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:m_{s} = \frac{1}{3} \end{gathered}$

• Calcular a equação da reta "s". Neste ponto, podemos utilizar a fórmula "ponto declividade", que é:

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}Y - Y_{P} = m_{s}\cdot(X - X_{P} ) \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}y - (-1) = \frac{1}{3}\cdot(x - 2) \end{gathered}$

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}y + 1 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \end{gathered}$

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} - 1 \end{gathered}$

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \end{gathered}$

✅ Portanto, a equação reduzida da reta "s" é:

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}s: y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \end{gathered}$

A partir da equação reduzida podemos obter a equação geral da reta "s". Então:

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \end{gathered}$

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{x - 5}{3} \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}3y = x - 5 \end{gathered}$

          $\large\displaystyle\begin{gathered}-x + 3y + 5 = 0 \end{gathered}$

Portanto, a equação geral da reta "s" é

       $\large\displaystyle\begin{gathered}s: -x + 3y + 5 = 0 \end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/46822225
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Solução gráfica: