A equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x²+1 no ponto de abscissa +4, é: A) y = 8x +15 B) y = -x +23 C) y = 8x -15 D) y = -8x +15 E) y = -15x -8
Soluções para a tarefa
Resposta: C) y = 8x - 15
Explicação passo a passo:
f(x) = x² + 1 equação da reta reta no ponto de abcissa + 4.
O valor da função f(x) = x² + 1 para x = 4 deve pertencer a reta tangente.
f(4) = 4² + 1 = 16 + 1 = 17. Assim o ponto (4, 17) pertence a reta tangente.
Agora vou usar dois métodos de resolução.
1º) Usando derivadas [se você não aprendeu derivadas verifique o 2º método]
Se a reta é tangente no ponto de abcissa 4 então o coeficiente angular da reta é o valor da derivada da parábola no ponto de abcissa 4.
A equação da reta é y = mx + h
f'(x) = 2x
f'(4) = 2(4) = 8
∴ m = 8
A equação da reta será, y = 8x + h
Como o ponto (4, 17) pertence a reta então,
17 = 8(4) + h
17 - 32 = h
h = -15
A equação da reta será y = 8x - 15
2º) método [sem o uso de derivadas]
Se o ponto (4, 17) pertence a reta então.
y = mx + h
17 = 4m + h
h = 17 - 4m
A equação "parcial" da reta será,
y = mx + 17 - 4m [será preciso determinar o m]
Se a reta é tangente à parábola então basta igualar as duas funções e impor que as duas funções tenham apenas um único ponto em comum.
x² + 1 = mx + 17 - 4m
x² - mx + 4m - 17 + 1= 0
x² - mx + 4m - 16 = 0 [equação do 2º grau}
Para ter apenas uma solução(um ponto em comum) o Δ deve ser zero.
Δ = (-m)² - 4(1)(4m - 16) = m² - 16m + 64 = 0 [Outra equação do 2º grau; você pode usar Bhaskara mas repare que aqui existe um trinômio perfeito]
m² - 2m(8) + 8² = 0 [produto notável].
(m - 8)² = 0 => m' = m" = 8 ∴ m = 8
Como h = 17 - 4m => h = 17 - 4(8) => h = 17 - 32 => h = - 15
Equação da reta: y = 8x - 15
Resposta:
C) y = 8x - 15
Explicação passo a passo: