Question

A equação da reta tangente à curva y = x³, no ponto de abscissa x = 1

Answer 1

Temos a curva :

$\text y = \text x^3$

e temos a reta tange à curva :

$\text y = \text m.\text x + \text n$

Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente à curva é dada por [y] ' (Derivada da curva num determinado ponto) :

Então, vamos derivar a curva para achar o coeficiente angular :

$\text y' \to \text m = [\text x^3]'$

$\text y' \to \boxed{\text m = 3.\text x^2}$

Para x = 1 :

$\text y' \to \boxed{\text m = 3}$

Reta tangente :

$\text y = 3.\text x + \text n$

Substituindo x=1 na equação da curva para achar o valor de y :

$\text y = \text x^3 \to \text y = .1^3 \to \text y = 1$

Fazendo x= 1 e y = 1 na equação da reta tangente :

$1 = 3.1 + \text n \to \text n = -2$

Portanto a equação da

reta tangente é :

$\huge\boxed{\text y = 3.\text x-2}\checkmark$

Answer 2

O cálculo realizado indica que a equação da reta tangente à curva y = x³, no ponto de abscissa x = 1 :

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y = 3x - 2 } }$

A derivada de uma função $\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }$ num ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf x = x_0 }$, é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de $\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }$, no ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf x = x_0 }$,

A taxa de variação instantânea de uma função $\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }$ em relação a x é dada pela expressão $\boldsymbol{ \textstyle \sf dy/dx }$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf y = x^3 \\\sf x = 1 \end{cases}$

Solução para determinar $\boldsymbol{ \textstyle \sf y_0 }$:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = x^3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ }$$\Large \displaystyle \mathsf{ y_0 = x_0^3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y_0 = (1)^3 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y_0 = 1 }$

O coeficiente angular da reta em $\boldsymbol{ \textstyle \sf x_0 = 1 }$   é dado por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m = \dfrac{dy}{dx} \left( x^3 \right) = 3x^2 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ m = 3x^2= 3 \cdot 1^2 = 3 \cdot 1 = 3 }$

A reta  tangente à curva $\boldsymbol{ \textstyle \sf y = x^3 }$,no ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P\: (x_0, y_0) }$ , tem equação:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - y_0 = m \cdot ( x- x_0) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - 1 = 3 \cdot ( x-1) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y - 1 = 3x -3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = 3x - 3 + 1 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 3x - 2 }$

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