Matemática, perguntado por leticiacola, 3 meses atrás

a equação da reta s que passa pelo ponto p (2,-1) e é perpendicular a reta r de equação 3x + y -2 =0 é ?
a) 3x + 2y - 4 =0
b)x -2y -5 =0
c)x -3y - 5 =0
d)x -3y -7 =0

Soluções para a tarefa

Respondido por lordCzarnian9635

A equação da reta s que passa pelo ponto p(2, – 1) e é perpendicular a reta r é: c) x – 3y – 5 = 0.

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leticiacola, duas retas r e s não verticais são perpendiculares entre si (notação: r $\perp$ s) se formarem o ângulo reto em sua interseção (como são concorrentes, possuem um único ponto de interseção em comum). Algebricamente, duas retas são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a menos um:

$~\quad\displaystyle\Large\text{$\sf r\perp s~\Longleftrightarrow~m_r\cdot m_s=-\,1.$}\\\\$

Encontramos o coeficiente angular “m” na equação reduzida de uma reta — denotada por y = mx + n —, que é quando isolamos “y” a partir da sua equação geral — denotada por ax + by + c = 0.

Com base no supradito, se (r) : 3x + y – 2 = 0, então sua forma reduzida é

$\displaystyle\Large\text{$\sf \blue{3x+y-2=0}\implies y=-\,3x+2.$}\\\\$

Como vemos, $\sf m_r$ = – 3. Assim,

$~~\qquad\qquad\displaystyle\Large\text{$\begin{gathered}\sf m_r\cdot m_s=-\,1\\\\\sf -\,3\cdot m_s=-\,1\\\\\sf 3\cdot m_s=1\\\\\sf m_s=\dfrac{1}{3}.\end{gathered}$}$

Com isso podemos encontrar a equação da reta s. Como sabemos que ela passa por p(2, – 1), podemos utilizar a equação fundamental da reta:

$~~\qquad\displaystyle\Large\text{$\begin{gathered}\sf y-y_p=m_s(x-x_p)\\\\\sf y-(-\,1)=\dfrac{1}{3}(x-2)\\\\\sf y+1=\dfrac{1}{3}(x-2)\\\\\sf (y+1)\cdot3=x-2\\\\\sf 3y+3=x-2\\\\\sf-\,x+3y+3+2=0\\\\\boxed{\red{\sf -\,x+3y+5=0}}\\\\\sf ou\\\\~\sf\boxed{\red{\sf x-3y-5=0}}\,.\end{gathered}$}\\\\$