Question

a equaçao da reta que passa pelos pontos a(2,0),b(0,2),e c(x,y) é

Answer 1

Se os pontos $A(x_{A},y_{A})$, $B(x_{B},y_{B})$ e $C(x_{C},y_{C})$ pertencem à mesma reta (são colineares), então

$\det \left[ \begin{array}{ccc} x_{A}&y_{A}&1\\ x_{B}&y_{B}&1\\ x_{C}&y_{C}&1 \end{array} \right]=0$


Para os pontos do enunciado temos

$A(2,0) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_{A}=2\\ y_{A}=0 \end{array}\right.\\ \\ B(0,2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_{B}=0\\ y_{B}=2 \end{array}\right.\\ \\ C(x,y) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_{C}=x\\ y_{C}=y \end{array}\right.$


Substituindo no determinante, temos

$\det \left[ \begin{array}{ccc} 2&0&1\\ 0&2&1\\ x&y&1 \end{array} \right]=0\\ \\ \\ 2 \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot x+1 \cdot 0 \cdot y-x \cdot 2 \cdot 1-y \cdot 1 \cdot 2-1 \cdot 0 \cdot 0=0\\ \\ 4-2x-2y=0\\ \\ 2x+2y-4=0\\ \\ \boxed{x+y-2=0} \rightarrow \text{Esta \'{e} a equa\c{c}\~{a}o da reta.}$