Question

A equação da reta que passa pelo ponto (3,-2), com a inclinação de 60º?

Answer 1

Se queremos encontrar a equação da reta, ela precisa ser do tipo $f(x) = ax + b$, em que o "a" é o coeficiente angular e "b" é o coeficiente linear (que representa geometricamente o corte sobre o eixo das ordenadas).

Também, queremos que essa reta passe pelo ponto (3, -2), ou seja, no ponto em que x = 3 e y = -2, e forme 60º. A pergunta que fica é: forma esse ângulo com o que? O eixo x? Ou com o eixo y? Enfim, vamos assumir que a nossa reta é decrescente com o valor de a<0 e com b>0 e que forma 60º com o eixo x e 30º com o eixo y, por consequência.

Substituindo os valores do ponto que já temos, pelo qual ela terá que passar, obteremos: $f(3) = 3a + b = -2$, logo $b = -2 -3a$. (#)

Atualizando a função da reta, temos: $f(x) = ax + (-2 -3a)$, ou seja $f(x) = a(x-3) -2$.

Se fizer um desenho é possível ver que temos um triângulo retângulo cujos catetos valem "3" (cateto horizontal) e "b + 2" (cateto vertical). Se tirarmos a tangente, obrigando que tal ângulo seja de 60º, obteremos:

$3 . tan60^{0} = b + 2$

Logo $b = 3\sqrt{3} -2$. E comparando essa equação com (#), temos:

$-2- 3a = 3\sqrt{3} -2 \Rightarrow a = - \sqrt{3}$

Assim, atualizando novamente a nossa função temos:

$f(x) = - \sqrt{3} (x - 3) - 2$

Ou melhor:

$f(x) = [- \sqrt{3}]x + [3 \sqrt{3} - 2]$

Em que "a" e "b" foram separados e destacados com os colchetes. 

Percebe-se que esta é a equação da reta que passa pelo ponto fornecido e que forma 60º com o eixo x.

Podemos perceber que está correto, pois quando substituímos o valor de "x" do ponto fornecido, obtemos o valor de "y". E além disso, ao calcularmos o valor da tangente do ângulo, através dos catetos, vemos que é exatamente igual a tangente de 60º.

Obs: Encontre a equação da reta que é perpendicular a essa que eu encontrei cuja equação é $f(x) = [\frac{ \sqrt{3} }{3}] x + [-2 - \sqrt{3}]$. Essa seria a equação que iria obter se acaso fizesse a>0 e b<0. A reta que encontrei, bem como essa que pedi para que tentasse achar estão desenhadas no gráfico em anexo. As duas passam pelo ponto e formam 60º, só que com eixos distintos. Como você não especificou, então as duas seriam respostas possíveis.
 
Espero ter ajudado.
Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

consegue me ajudar?

substituindo 60° por 30° como fica?