Question

A equação da reta que passa pelo ponto (1 , 9/4) e é perpendicular à reta 3x+4y-12=0 é

(a) 3x+4y - 2 = 0
(b) 3x+4y +7 = 0
(c) 4x - 3y - 2 = 0
(d) 4x - 3y +7 = 0
(e) 16x - 12y +11 = 0

Answer 1

A alternativa E é a correta. A equação da reta pedida é 16x - 12y + 11 = 0.

Podemos determinar a equação geral da reta, a partir da determinação do seu coeficiente angular e depois determinando o coeficiente linear.

Equação Reduzida da Reta

Toda reta pode escrita na sua forma reduzida da seguinte forma:

$\boxed{ y = ax +b, a \neq 0 }$

Observe que y está isolada na equação reduzida da reta.

Os números a e b são coeficientes da reta. Sendo que:

• a é o coeficiente angular da reta;

• b é o coeficiente linear da reta.

Podemos escrever a equação da reta dada na forma reduzida, isolando y:

$3x+4y-12=0 \\\\4y = -3x+12 \\\\y = \dfrac{-3x+12}{4} \\\\y = -\dfrac{3x}{4} + 3$

Assim, a equação reduzida da reta dada  é y = -(3/4)x + 3. Assim, seu coeficiente angular é -3/4.

Coeficiente Angular de Retas Perpendiculares

Seja duas retas r e s perpendiculares. O coeficiente angular dessas retas obedece à relação:

$\boxed{ m_{r} \cdot m_{s} = -1 }$

Como o coeficiente angular da reta dada é -3/4, podemos determinar o coeficiente angular da reta perpendicular a ela:

$m_{r} \cdot m_{s} = -1 \\\\(-\frac{3}{4})\cdot m_{s} = -1 \\\\m_{s} = \dfrac{-1}{\frac{-3}{4}} \\\\m_{s} = -1 \cdot \dfrac{4}{-3} \\\\\boxed{ m_{s} = \dfrac{4}{3} }$

Logo, o coeficiente angular da reta que procuramos é 4/3.

Coeficiente Linear

É dado que a reta procurada passa pelo ponto (1, 9/4). Podemos utilizar essa informação para determinar seu coeficiente linear.

Utilizando a equação reduzida da reta:

$y = ax+b \\\\y = \dfrac{4 x}{3} + b$

Substituindo x = 1 e y = 9/4.

$\dfrac{9}{4} = \dfrac{4 \cdot 1}{3}+b \\\\\\b = \dfrac{9}{4} - \dfrac{4}{3} \\\\\\\boxed{b = \dfrac{11}{12}}$

Assim, a equação reduzida da reta procurada é:

$\boxed{ y = \dfrac{4x}{3}+\dfrac{11}{12} }$

Escrevendo a equação na forma geral:

$y = \dfrac{4x}{3}+\dfrac{11}{12} \\\\\\\dfrac{12}{12}y = \dfrac{16}{12}x+\dfrac{11}{12} \\\\\\12y = 16x+11 \\\\\boxed{\boxed{16x-12y+11=0 }}$

A equação geral da reta pedida é 16x - 12y + 11 = 0. A alternativa E é a correta.

Para saber mais sobre Geometria Analítica, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/7198444

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Espero ter ajudado, até a próxima :)

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