Question

a equação da reta que passa pela origem e pela interseccao da reta 2x+y-6=0 e x-3+11=0 tem seguinte equação: A) y=2x B) y=3x C) y=4x D) y=5x E) y=6x

Answer 1

Primeiro, faz-se necessário encontrar o par ordenado de intersecção entre as retas dadas pelo enunciado e, para isso, deveremos resolver o seguinte sistema de equações:
$\left \{ {{2x+y-6= 0} \atop {x-3y+11= 0}} \right.$

Escrevendo de outra maneira:
$\left \{ {{2x+y-6= 0} \atop {x-3y+11= 0}} \right. ~~~ \to ~~~ \left \{ {{2x+y= 6} \atop {x-3y= -11}} \right.$

Utilize o método que preferir para resolver esse sistema de equação. Irei utilizar o método da adição.

Multiplicando a primeira equação por 3, teremos:
$\left \{ {{6x+3y= 18} \atop {x-3y= -11}} \right.$

Somando as equações:
$6x+x+3y-3y= 18-11 \\ \\ 7x= 7 \\ \\ \boxed{x= 1}$

Agora basta substituir em uma das equações e encontrar o valor de y. Observe:
$6x+3y= 18 \\ \\ 6 \cdot 1 + 3y= 18 \\ \\ 3y= 18-6 \\ \\ 3y= 12 \\ \\ y= \frac{12}{3} \\ \\ \boxed{y= 4}$

Portanto, a intersecção entre as retas é dada no ponto P (1, 4).

A questão solicita a equação da reta que passa pela origem do plano cartesiano O (0, 0) e pelo ponto de intersecção P (1,4). Para isso, utilizaremos a seguinte equação:
$y-y'= m \cdot (x-x')$

Onde: "x'" e "y'" é um par ordenado e, "m" é o coeficiente angular.

Encontrando a equação da reta:
$y-y'= m \cdot (x-x') \\ \\ y-4= \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot (x-1) \\ \\ y-4= \frac{4}{1} \cdot (x-1) \\ \\ y-4= 4x-4 \\ \\ \boxed{\boxed{y= 4x}}$