Question

A equação da parábola abaixo é y=-x²+8x-12.
Determine a área do triângulo AOB.

Answer 1

Nesse gráfico temos três pontos A, B e O, sendo o ponto O a origem, ou seja, O(0,0), o ponto B é representado pela Intersecção do gráfico com o eixo "y", também conhecido como o valor de "c" da equação do segundo grau, então B(0,-12) e por último temos o ponto A que é representado por uma das raízes da equação do segundo grau que nos foi aprensentada. Para finalizar os pontos vamos encontrar as raízes dessa função:

$\sf - x {}^{2} + 8x - 12 = 0\Longrightarrow \begin{cases} \sf x_1 = 6 \\ \sf x_2 = 2\end{cases}$

Como o ponto está mais deslocado para a direita, quer dizer então que será a maior raiz, ou seja, a raiz será 6 e o ponto A(6,0). Como os pontos possuem "0" será bem fácil calcular a distância entre esses pontos:

$\sf A(6,0) \: \: \: B(0,-12) \: \: \: O(0,0)\\ \\ \sf d_{A,B} = \sqrt{(6 - 0) {}^{2} + (0 + 12) {}^{2} } \\ \sf d_{A,B} = \sqrt{36 + 144} \\ \sf d_{A,B} = \sqrt{180} \\ \sf d_{A,B} = 6 \sqrt{5} \: u.c \\ \\ \sf d_{B,O} = 12 \: u.c \\ \\ \sf d_{A,O} = 6 \: u.c$

Pronto, temos todos os lados do triângulo. Agora é só substituir na fórmula da área:

$\sf A = \frac{ b.h}{2}\Longrightarrow A = \frac{6.12}{2}\Longrightarrow \sf \boxed{ \boxed{ \sf A = 36 \: u.a }}$

Espero ter ajudado