Question

A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P = (1, -2) e Q = (5, 4) é *
a) 3x + 2y – 11 = 0
b) 3x – 2y – 7 = 0
c) 2x – 3y – 3 = 0
d) 2x – 3y + 9 = 0
e) 2x + 3y – 9 = 0

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Devemos determinar a equação da mediatriz do segmento que une os pontos $P~(1,\,-2)$ e $Q~(5,~4)$.

Primeiro, lembre-se que a reta mediatriz a um segmento é perpendicular ao segmento e passa por seu ponto médio.

Então, devemos terminar o coeficiente angular da reta suporte do segmento, sabendo que: $m=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$.

Assim, substituindo as coordenadas dos pontos $P$ e $Q$, temos:

$m=\dfrac{4-(-2)}{5-1}\\\\\\ m=\dfrac{6}{4}\\\\\\ m=\dfrac{3}{2}$

Então, determinamos o coeficiente angular da reta mediatriz, sabendo que $m_{perpendicular}=-\dfrac{1}{m}$

Assim, teremos:

$m_{perpendicular}=-\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)}\\\\\\ m_{perpendicular}=-\dfrac{2}{3}$

Agora, determinamos o ponto médio do segmento $\overline{PQ}$, sabendo que $(x_M,~y_M)=\left(\dfrac{x_{P}+x_{Q}}{2},~\dfrac{y_P+y_Q}{2}\right)$

Assim, teremos:

$(x_M,~y_M)=\left(\dfrac{1+5}{2},~\dfrac{-2+4}{2}\right)\\\\\\ (x_M,~y_M)=\left(\dfrac{6}{2},~\dfrac{2}{2}\right)\\\\\\ (x_M,~y_M)=(3,~1)$

Por fim, determinamos a reta mediatriz, utilizando a fórmula: $y-y_0=m\cdot(x-x_0)$ e os resultados encontrados anteriormente

$y-1=-\dfrac{2}{3}\cdot(x-3)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y-1=-\dfrac{2x}{3}+2$

Multiplique ambos os lados da equação por $3$

$3y-3=-2x+6$

Subtraia $-2x+6$ em ambos os lados da equação

$3y-3-(-2x+6)=0\\\\\\ 3y-3+2x-6=0\\\\\\ 2x+3y-9=0$

Esta é a equação da reta mediatriz do segmento que une os pontos $P$ e $Q$ e é a resposta contida na letra e).