Question

A equação da circunferencia que tem como diametro a corda comum as circunferencias x² + y² - 6x² e x² + y² - 6y é:

Answer 1

Olá.

Dada as circunferências:

$\begin{Bmatrix} x^{ 2 }+y^{ 2 }-6x=0 \\ x^{ 2 }+y^{ 2 }-6y=0 \end{Bmatrix}$

Primeiramente vamos isolar a primeira equação.

$x^{ 2 }+y^{ 2 }=6x$

Substituindo na segunda teremos:

$x^{ 2 }+y^{ 2 }-6y=0\\ 6x-6y=0\\ 6x=6y\\ x=y$

Voltando para a primeira equação e sabendo que x=y teremos:

$x^{ 2 }+y^{ 2 }-6x=0\\ x^{ 2 }+y^{ 2 }-6y=0\\ 2y^{ 2 }-6y=0$

Resolvendo a equação encontraremos:

$y(2y-6)=0\\ y=0\quad ou\\ \\ 2y-6=0\\ 2y=6\\ y=\frac { 6 }{ 2 } \\ \\ y=3$

Os pares ordenados são:

$(0,0)\quad (3,3)$

Calculando a distância vamos obter o diâmetro.

$d=\sqrt { (3-0)^{ 2 }+(3-0)^{ 2 } } \\ d=\sqrt { 9+9 } \\ d=\sqrt { 18 }$

O raio é metade do diâmetro.


$r=\frac { \sqrt { 18 } }{ 2 }$

Precisamos das coordenadas do ponto médio.

$M=(\frac { 3+0 }{ 2 } ,\frac { 3+0 }{ 2 } )\\ \\ M=(\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 2 } )\\ \\ \\ C(\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 2 } )$

Substituindo na equação da circunferência acharemos:

$(x-\frac { 3 }{ 2 } )^{ 2 }+(y-\frac { 3 }{ 2 } )^{ 2 }=(\frac { \sqrt { 18 } }{ 2 } )^{ 2 }\\ \\ x^{ 2 }-2*\frac { 3 }{ 2 } x+\frac { 9 }{ 4 } +y^{ 2 }-2*\frac { 3 }{ 2 } y+\frac { 9 }{ 4 } =\frac { 18 }{ 4 } \\ \\ x^{ 2 }-3x+\frac { 9 }{ 4 } +y^{ 2 }-3y+\frac { 9 }{ 4 } =\frac { 18 }{ 4 } \\ \\ x^{ 2 }-3x+y^{ 2 }-3y+\frac { 18 }{ 4 } =\frac { 18 }{ 4 } \\ \\ x^{ 2 }+y^{ 2 }-3x-3y=0$