Question

A equação da circunferência pode ser escrita nas formas (x−a)^2+(y−b)^2=r^2 (x−a)^2+(y−b)^2=r^2, com centro em C(a,b) e raio r. A reta r, de equação 6x−y−28=0,
é tangente à circunferência de centro C(-1,3). Assinale a alternativa que representa a equação da circunferência tangente à reta r:
A) x^2+y^2+2x−6y−27=0.
B) x^2+y^2−2x−3y−21=0
C) x^2+y^2+2x−5y−22=0
D)x^2+y^2+4x+6y−27=0
E) x^2+y^2−2x−6y−29=0
Qual a alternativa correta e como se faz esta conta?

Answer 1

Resposta:

Letra D)

Explicação passo-a-passo:

Se a circunferência é tangente à reta, então a distância do seu centro ao ponto de tangência é igual a medida do raio.

$\boxed{d_{PR}=R}$

Ou, podemos dizer que a distância do centro à reta é igual a medida do raio.

Assim:

Sendo ax + by + c = 0 a equação de uma reta e um ponto P(x₀,y₀). A distância entre a reta e o ponto é definida pela fórmula:

$\boxed{d_{PR=R}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

Temos que a equação da reta é 6x - y - 28 = 0 e o centro da circunferência é C(-1,3). Então:

$R=\frac{|6.(-1)-1.3-28|}{\sqrt{6^2+(-1)^2}}\\R=\frac{|-37|}{\sqrt{37}}*\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}=37*\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}^2}=37*\frac{\sqrt{37}}{37}=\sqrt{37}$

Substituindo R na Equação Geral da Circunferência

$(x+1)^2+(y-3)^2=(\sqrt{37})^2\\x^2+2x+1+y^2-6x+9=37\\x^2+y^2+2x-6y-37+10=0\\x^2+y^2+2x-6y-27=0$

Letra D)