Question

A equação da circunferência do centro (-4,6) que tangência, externamente, a circunferência x2+y2=8x é

Answer 1

Seja uma circunferência de raio r e centro no ponto P(a,b). Sua equação é dada por:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Mas, o ponto central é conhecido, precisamos pensar no raio. A segunda circunferência não está escrita na forma padrão, então precisaremos expandi-la:

$x^2 + y^2 - 8 \cdot x = 0 \\ (x^2 - 8 \cdot x) + y^2 = 0$

Se você perceber, quando expandimos o produto notável $(x - a)^2$, temos: $x^2 - 2 \cdot a \cdot x + a^2$. Ou seja:

$-2 \cdot a = -8 \\ a = \frac{-8}{-2} = 4$

Então a segunda circunferência tem centro no ponto (4,0). Mas para fechar o produto notável, está faltando $a^2 = 16$, então, podemos somar e subtrair 16 da expressão (que é o mesmo que adicionar zero):

$(x^2 - 8 \cdot x + 16) + (y - 0)^2 - 16 = 0 \\ (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = 4^2$

Logo, a segunda circunferência tem centro C(4,0) e raio 4.

O exercício diz que as duas circunferências devem ser tangentes exteriormente (isto é, tocar em apenas um ponto). Para isso, precisamos calcular a distância entre os centros das duas circunferências. Utilizando o teorema de Pitágoras:

$(dist)^2 = (c_{x} - b_{x})^2 + (c_{y} - b_{y})^2 \\ (dist)^2 = (4 - (-4))^2 + (0 - 6)^2 \\ (dist)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \\ dist = \sqrt[2]{100} = 10$

Ou seja, a distância entre o centro das duas circunferências vale 10. Essa distância representa a soma dos raios das circunferências, já que para se tocarem uma vez exteriormente, os raios precisam se somar. Ou seja:

$r_1 + r_2 = 10$

Sabendo que $r_2 = 4$, deduzimos que o raio da primeira circunferência deve valer 6.

Então, sua equação será:

$(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 6^2$

No gráfico a seguir eu tracei as duas circunferências e um segmento entre seus respectivos centros.