Question

A equação abaixo representa um elipse de centro C e diâmetros a e b. Encontre a reta tangente a elipse de centro C(0,0), a=2, b=1 no ponto de abscissa x=1, com y>0

Answer 1

Elipse :
$\displaystyle \sf \frac{(x-0)^2}{2^2}+\frac{(y-0)^2}{1^2} = 1 \\\\\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1} = 1 \\\\\\ \underline{\text{Equa{\c c}{\~a}o da reta tangente {\`a} elipse no ponto x = 1 }}: \\\\ y - y_o = m\cdot (x-x_o )$

para descobrir o valor de $\sf y_o$ vamos substituir x = 1 na equação da elipse :

$\displaystyle \sf x= 1 \to \frac{1^2}{4}+ y^2 = 1 \\\\\\ y^2 = 1-\frac{1}{4} \to y^2=\frac{3}{4} \\\\\\ y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ y > 0 , logo, \ y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Usando o valor positivo, temos que a equação da reta tangente à elipse é do tipo :

$\displaystyle \sf y-\frac{\sqrt{3}}{2} = m\cdot (x-1)$

O valor de coeficiente angular é a derivada da equação no ponto dado, ou seja :

$\displaystyle \sf m = y' \\\\ \left [ \frac{x^2}{4}+y^2= 1 \right ] ' \\\\\\ \frac{2x^2}{4} + 2 y y' = 0 \\\\ 2yy' = \frac{-x}{2} \\\\\\ y' = \frac{-x}{4y} \\\\\\ \text{subituindo o ponto } \left(1, \frac{ \sqrt{3}}{2}\right) : \\\\\\\ m = y' = \frac{-1}{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{3}} \\\\\\ m=y'=\frac{-\sqrt{3}}{6}$

Portanto a equação da reta tangente à elipse é  :

$\huge\boxed{\ \displaystyle \sf y -\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{6}(x-1)\ }\checkmark$

opção 1