Question

A equação 9x²-6+2m=0 tem raízes reais. Quais os possíveis valores reais de m?

Answer 1

Pede-se os possíveis valores de "m" para que a equação abaixo tenha raízes reais: 

9x² - 6x + 2m = 0 

Veja que há duas situações: 

a) para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais e diferentes uma da outra, o delta terá que ser maior do que zero; 
b) para que a equação do 2º grau tenha duas raízes reais e iguais (uma raiz igual à outra), o delta terá que ser igual a zero. 

Como estão sendo pedidos os possíveis valores de "m" para que a equação dada tenha raízes reais (não diz se são diferentes uma da outra, ou se uma é igual à outra), então temos que considerar as duas situações postas nos itens "a" e "b" acima. 

Vamos, então, para a primeira situação (item "a"), considerando-se a primeira situação: delta maior do que zero (duas raízes reais e diferentes uma da outra). Então: 

b² - 4.a.c > 0 ------fazendo as devidas substituições, temos: 

(-6)² - 4.9.2m > 0 
36 - 72m > 0 
-72m > - 36 
72m < 36 
m < 36/72 -----dividindo numerador e denominador por "36", ficamos apenas com: 
m < 1/2 -------Essa é uma resposta para os possíveis valores de "m". 

Vamos para a segunda situação, em que o delta poderá ser igual a zero, de onde se conclui que as duas raízes são reais e iguais uma à outra. Então: 

b² - 4.a.c = 0 -----fazendo as devidas substitituições, temos: 
(-6)² - 4.9.2m = 0 
36 - 72m = 0 
- 72m = - 36 
72m = 36 
m = 36/72 -------dividindo numerador e denominador por "36", temos: 
m = 1/2 -------Essa é outra resposta para os possíveis valores de "m". 

Então, como não foi especificado, temos que os possíveis valores de "m" são: 

m < 1/2 
ou 
m = 1/2 

Colocando numa expressão só, é a mesma coisa que: 

m < = 1/2 ------("m" é menor ou igual a 1/2)<--- Pronto. Essa seria a resposta. 

Answer 2

 Δ = b² - 4ac
0 = (-6)² - 4*9*2m
0 = 36 - 72m
72m = 36
m = 36 / 72 (simplificando por 9)
m = 4/8 (simplificando por 4)
m = 1/2