Question

A equacao 7x²-35x+42/7x-14=0 possui x=?

Answer 1

$\dfrac{7x^{2}-35x+42}{7x-14}=0$

Vamos colocar 7 em evidência no numerador e denominador:

$\dfrac{7\cdot(x^{2}-5x+6)}{7\cdot(x-2)}=0\\\\\\\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2}=0$

Veja que não podemos ter x igual a 2, pois 2 é a raiz do denominador, e chegaríamos numa indeterminação ou impossibilidade matemática.

Portanto, se x é diferente de 2, podemos multiplicar os dois lados da equação por (x - 2) e cortar o denominador:

$\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2}\cdot(x-2)=0\cdot(x-2)~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x^{2}-5x+6=0}}$

Ou seja: A função quociente só é igual a zero se o numerador for zero e o denominador for diferente de zero

Nesse exercício, a função só é zero se x² - 5x + 6 = 0 e x - 2 ≠ 0 (x ≠ 2).

Portanto, vamos encontrar as raízes de x² - 5x + 6

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6\\\Delta=25-24\\\Delta=1\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm1}{2}$

Então, as raízes e x² - 5x + 6 são

$x'=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3\\\\\\x''=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2$

Como verificamos anteriormente, x não pode ser 2, pois teríamos a indeterminação 0 / 0. Logo, a única raíz da equação dada é x = 3

$\boxed{\boxed{S=\{3\}}}$
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Em termos de funções, temos a seguinte função

$f(x)=\dfrac{7x^{2}-35x+42}{7x-14}=\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}\\\\\\\therefore~~\boxed{\boxed{f(x)=x-3~~se~~x\neq2}}$

Portanto, a função é uma reta e é definida para todo x real diferente de 2 (possui descontinuidade removível em x = 2). Veja o gráfico em anexo dessa função e verifique que, de fato, apenas x = 3 é raiz