Question

A equação 4x^3 - 3x^2 + 4x - 3 = 0 admite uma raiz igual a i (unidade imaginária). Deduzimos que:

a) Tal equação não admite raiz real menor que 2
b) Tal equação admite como raiz um número racional
c) Tal equação não admite como raiz um número positivo
d) Tal equação não possui raiz da forma bi, com b<1
e) Nda

Answer 1

 Vimos numa questão questão anterior que se um número complexo é raiz de uma equação, então seu conjugado também será, certo?! Com isso, podemos tirar que (- i) também é uma raiz da equação proposta.

 "O pulo do gato" [risos]: se "i" é uma raiz da equação, então o fator (x - i) divide o polinômio/equação; aplicando raciocínio análogo, tiramos que (x + i) também divide a equação. Por conseguinte, dividirá o produto (x - i)(x + i) que é igual a (x² + 1).

 Dividindo o polinômio/equação por (x² + 1) irá obter o quociente cujo grau é UM. Esse quociente corresponde à outra raiz.


 MAS, podemos concluir o exercício por fatoração veja:

$\\ \mathsf{4x^3 - 3x^2 + 4x - 3 = 0} \\\\ \mathsf{x^2(4x - 3) + 1(4x - 3) = 0} \\\\ \mathsf{(4x - 3) \left [ x^2 + 1 \right ] = 0} \\\\ \mathsf{(4x - 3)(x^2 - i^2) = 0} \\\\ \mathsf{(4x - 3)(x - i)(x + i) = 0}$

 Portanto, a resposta está na opção "b".