Question

A equação 4x^2+bx+c = 0 tem como raizes os números -5 e 2. Então o valor de b+c e igual a??
A)28
B)-28
C)14
D)-14

Answer 1

Boa tarde!!
Se as raízes são - 5 e 2, significa dizer que quando esses valores são substituídos na equação resulta em zero. Logo:

a) substituindo por - 5:
4.(-5)² + (-5).b + c = 0
25.4 - 5b + c = 0
100 - 5b + c = 0
5b - c = 100

b) substituindo por 2:
4.(2)² + 2.b + c = 0
4.4 + 2b + c = 0
16 + 2b + c = 0
- 2b - c = 16

Juntando as 2 equações obtidas temos um sistema:
5b - c = 100
- 2b - c = 16

Pegando a segunda equação podemos deduzir:
c = - 16 - 2b

Substituindo o valor de c na primeira equação fica:
5b - (- 16 - 2b) = 100
5b + 16 + 2b = 100
5b + 2b = 100 - 16
7b = 84
b = 84/7
b = 12

Tendo o valor de base, acharemos o valor de c:
c = - 16 - 2b
c = - 16 - 2.12
c = - 16 - 24
c = - 40

Sendo assim:
b + c = 12 + (-40) = 12 - 40 = - 28

Letra b
Espero ter ajudado :)

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o resultado da soma entre "b" e "c" da referida equação do segundo grau é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf b + c = -28\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa \:B\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} 4x^{2} + bx + c = 0\\ a = 4\\ x' = -5\\x'' = 2\\ b + c = \:?\end{cases}$

Sabemos pelas relações de Girard que a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau são, respectivamente:

          $\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{b}{a}\\x'\cdot x'' = \frac{c}{a}\end{cases}$

Desse modo, temos:

          $\Large\begin{cases} -b = a(x' + x'')\\c = a\cdot x'\cdot x''\end{cases}$

E, dessa forma, chagamos:

          $\Large\begin{cases} b = -a(x' + x'')\\c = a\cdot x'\cdot x''\end{cases}$

Então, temos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} b + c = -a\cdot(x' + x'') + a\cdot x'\cdot x''\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -4\cdot(-5 + 2) + 4\cdot(-5)\cdot2\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -4\cdot(-3) - 40\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 12 - 40\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -28\end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado é:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} b + c = -28\end{gathered}$

             

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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