Question

A equação 1 + 2cos2x = 3cos x admite exatamente 3 soluções distintas no intervalo [0, 2π[.


Qual é a soma dessas soluções?


A) π
b) 3π /2
c) 2π
D)4π
e)8π

Answer 1

Resposta:

c) = 2π

Explicação passo-a-passo:

Usando que cos2x = cos²x - sen²x = 2cos²x - 1 temos

1 + 2 cos(2x) = 3 cos(x)

1 + 4cos²x - 2 = 3cos(x)

4cos²x - 3cosx - 1 = 0

Isso é uma equação do segundo grau em cos(x). Trocando cos(x) por y fica mais fácil ver:

4y² - 3y - 1 = 0

Resolvendo encontramos

y = 1 ou y = -1/4

dai temos

cos x = 1 ⇒ x = 0

cos x = -1/4

Nessa segunda x não é nenhum valor notável, mas precisamos saber apenas que são duas soluções: x = α no segundo quadrante e x = 2π - α no terceiro. Logo a soma das 3 raízes é:

0 + α + (2π-α) = 2π