Question

a) Encontre quantos números possíveis podem ser formados com os algarismos (2, 3, 4, 5, 7) de forma que esse número tenha 3 algarismos e seja divisível por 3.

(Sem repetição de algarismos).


b) Ache um número formado apenas pelos algarismos 1 e 0 (por exemplo, 1111001), de maneira que ele seja divisível por 7.

(Não importa a quantidade de algarismos nessa questão).

Answer 1

=> Questão - a)

...temos os algarismos 2,3,4,5 e 7

...pretendemos formar números de 3 algarismos distintos (não repetidos) de modo a que sejam divisíveis por 3 ...ou por outras palavras ..que sejam múltiplos de 3

Admitindo que sabe os critérios de divisibilidade por "3" ...vamos começar por "agrupar" os algarismos dados em grupos de 3 algarismos ...e como temos 5 algarismos o número de grupos será dado por C(5,3) = 10 grupos

assim esses 10 grupos são os seguintes:

2,3,4 ..soma = 9 ...logo 234 é divisível por 3
2,3,5 ..soma = 10 ...logo 235 NÃO É divisível por 3
2,3,7 ..soma = 12 ...logo 237 é divisível por 3
2,4,5 ..soma = 11 ...logo 245 NÃO É divisível por 3
2,4,7 ..soma = 13 ...logo 247 NÃO É divisível por 3
2,5,7 ..soma = 14 ...logo 257 NÃO É divisível por 3
3,4,5 ..soma = 12 ...logo 345 é divisível por 3
3,4,7 ..soma = 14 ...logo 347 NÃO É divisível por 3
3,5,7 ..soma = 15 ...logo 357 é divisível por 3
4,5,7 ..soma = 16 ...logo 457 NÃO É divisível por 3

pronto agora é só permutar cada um dos grupos para encontrar o número (N) de múltiplos de 3 possíveis de formar com 3 dos algarismos dados.

N = 4 . 3!

N = 4 . 6

N = 24 <- números de 3 algarismos divisíveis por 3


Questão - b) 

...como não existem critérios de restrição vamos começar pelo "exemplo" indicado 1111001

segundo os critérios de divisibilidade vamos verificar se ele é divisível por 7 

assim

...retiramos o último algarismo ficando 111100 ...vamos subtrair o dobro do último (2.1 = 2) ...donde resulta  111098

se dividirmos 111098 por 7 obtemos  15871,14 ...isto implica que se adicionarmos mais um "zero" a 111100 ...passando para 111000 obtemos um número divisível por 7 ..o número 1110998

assim ...e utilizando os critérios de divisibilidade na ordem inversa ..temos que  1110998 + 2 = 1111000

..e somando o ultimo digito retirado inicialmente teremos 11110001 que é divisível por 7


Espero ter ajudado