Question

A) Encontre as expressões matemáticas que relacionam as diagonais d e D com esses valores.

B) Generalize essas expressões para o caso de paralelepípedo ser um cubo com arestas de dimensão a.

Answer 1

a) Observe que a diagonal do cubo, a diagonal da base a altura do paralelepípedo formam um triângulo retângulo.

Então, pelo Teorema de Pitágoras:

D² = d² + h²

A mesma coisa acontece com as arestas da base e a diagonal da base:

d² = a² + b².

Assim, podemos dizer que as expressões são:

D² = a² + b² + h² e d² = a² + b²

ou seja,

$D=\sqrt{a^2+b^2+h^2}$ e $d=\sqrt{a^2+b^2}$.

b) Se o paralelepípedo for um cubo com arestas de dimensão a, então b = h = a.

Assim,

$D=\sqrt{a^2+a^2+a^2}$

$D=\sqrt{3a^2}$

D = a√3

e

$d=\sqrt{a^2+a^2}$

$d=\sqrt{2a^2}$

d = a√2.