Question

a empresa shine joias fez um emprestimo de R$875000,00 parcelado em 192 meses, sob a taxa de juros de 1,9 anual. Qual o valor das parcelas e o valor futuro?

Answer 1

Essa questão trata de uma série ou sequência uniforme postecipada, como é padrão de financiamentos em bancos - que não costumam ter entradas (e o enunciado também não denotou a existência dessas).

Para a aplicação das fórmulas que demonstrarei no decorrer do desenvolvimento, devemos ter a taxa de juros efetiva - ou seja, devemos ter a taxa de juros em unidades de tempo iguais a do período de capitalização que vamos usar, que será mensal. A taxa de juros em tempos diferentes recebe o nome de taxa nominal.

Para a resolução dessa questão, o primeiro passo é a conversão da taxa nominal anual para taxa efetiva com capitalizações mensais. Para fazer a conversão, taxa nominal anual para taxa efetiva mensal, podemos usar a seguinte relação:

$i=\dfrac{i_n}{12}$

Onde:

i: refere-se a taxa efetiva, que vamos descobrir;

iₙ: refere-se a taxa nominal, 1,9% ou 0,019.

Convertendo, teremos:

$\left[\begin{array}{l} i=\dfrac{i_n}{12}\\\\ i_A=\dfrac{0,019}{12}=0,00158333...\end{array}\right.$

Tendo a taxa nominal, podemos descobrir as parcelas e o valor futuro.

Valor das parcelas

Para descobrir o valor das parcelas de uma série uniforme podemos usar a seguinte fórmula:

$PMT=C\cdot\dfrac{(1+i)^n\cdot i}{(1+i)^n-1}$

Onde:

PMT: valor das parcelas, que é o que queremos descobrir;

C: capital inicial, 875.000;

i: taxas de juros, 0,00158333...;

n: tempo de aplicação, que será 192.

Para a aplicação dos cálculos, podemos utilizar do auxílio de uma calculadora. Sublinharei a resposta. Teremos:

$PMT_A=875.000\cdot\dfrac{(1+0,00158333...)^{192}\cdot0,00158333...}{(1+0,00158333...)^{192}-1}\\\\\\PMT_A=875.000\cdot\dfrac{(1,00158333...)^{192}\cdot0,00158333...}{(1,00158333...)^{192}-1}\\\\\\ PMT_A=875.000\cdot\dfrac{1,3549432710...\cdot0,00158333...}{1,3549432710...-1}\\\\\\ PMT_A=875.000\cdot\dfrac{0,0021453268...}{0,3549432710...}\\\\\\ PMT_A=875.000\cdot0,0060441401...\\\\\\ PMT_A=5.288,6225580786\approxeq\underline{5.288,62}$

Valor futuro

Para o cálculo do valor futuro (FV), podemos usar a seguinte fórmula:

$FV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$

Usarei apenas duas casas decimais nas parcelas. Para economizar a quantidade de caracteres, irei simplificar um poucos os cálculos.

$FV_A=5.288,62\cdot\dfrac{(1+0,00158333...)^{192}-1}{0,00158333...}\\\\\\FV_A=5.288,62\cdot\dfrac{0,3549432710...}{0,00158333...}\\\\\\FV_A=5.288,62\cdot224,1746975032...\\\\\\FV_A=5.288,62\cdot224,1746975032...\\\\\\FV_A=1.185.574,7887094200\approxeq\underline{1.185.574,79}$

O valor da parcela é R$5.288,62 e o valor futuro será R$1.185.574,79.