A EDO y''-y'-12y=-13senx - cosx tem uma solução:
a)y=tgx
b)y=cos(2x)
c)y=sen(3x)
d)y=senx
p.s.: a resposta correta é a letra d, porém não consigo chegar até esse resultado..
Soluções para a tarefa
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Olá,
o processo de solução de uma EDO é bem longo.
Para simplificar, como você sabe que uma das alternativas é a solução, o mais simples a se fazer é calcular a primeira (y') e segunda (y'') derivadas de cada uma das alternativas, substituir na equação e verificar a igualdade.
Estamos procurando uma função y(x) que multiplicada por 12, e somada com suas derivadas primeira e segunda resultem em (-13senx - cosx).
Como você já sabe que é a letra d) y=sen(x), vou apenas prová-la para vc:
Primeiro calculamos as derivadas 1ª e 2ª da função que queremos testar:
y=sen(x)
y'= cos(x)
y''=-sen(x)
Agora é só substituir na equação e verificar a igualdade:
y''-y'-12y=-13senx - cosx
[-sen(x)]-[cos(x)]-12[sen(s)]=-13senx - cosx
-sen(x)-12sen(x)-cos(x)=-13senx - cosx
-13sen(x)-cos(x)=-13senx - cosx <---- VERDADE
Como a igualdade é verdadeira, chega-se à conclusão de que y=senx.
Sem saber a resposta iríamos fazer este mesmo processo 4 vezes. Nas 3 primeiras funções a igualdade não seria verdadeira.
Antes de começar a testar, pode-se analisar a EDO e as alternativas possíveis, com o objetivo de concluir qual é a mais provável.
Nesse caso, fica bem visual o fato de que temos -12y de um lado somado com suas derivadas e o -13senx do outro lado.. Isso já é um indicativo de que a resposta certa seria a D), fazendo com que possamos iniciar o teste por ela.
Seria mais complicado se todas as alternativas envolvessem senx (senx, -senx, 2senx, etc...)
Espero ter ajudado.
Bons estudos.
o processo de solução de uma EDO é bem longo.
Para simplificar, como você sabe que uma das alternativas é a solução, o mais simples a se fazer é calcular a primeira (y') e segunda (y'') derivadas de cada uma das alternativas, substituir na equação e verificar a igualdade.
Estamos procurando uma função y(x) que multiplicada por 12, e somada com suas derivadas primeira e segunda resultem em (-13senx - cosx).
Como você já sabe que é a letra d) y=sen(x), vou apenas prová-la para vc:
Primeiro calculamos as derivadas 1ª e 2ª da função que queremos testar:
y=sen(x)
y'= cos(x)
y''=-sen(x)
Agora é só substituir na equação e verificar a igualdade:
y''-y'-12y=-13senx - cosx
[-sen(x)]-[cos(x)]-12[sen(s)]=-13senx - cosx
-sen(x)-12sen(x)-cos(x)=-13senx - cosx
-13sen(x)-cos(x)=-13senx - cosx <---- VERDADE
Como a igualdade é verdadeira, chega-se à conclusão de que y=senx.
Sem saber a resposta iríamos fazer este mesmo processo 4 vezes. Nas 3 primeiras funções a igualdade não seria verdadeira.
Antes de começar a testar, pode-se analisar a EDO e as alternativas possíveis, com o objetivo de concluir qual é a mais provável.
Nesse caso, fica bem visual o fato de que temos -12y de um lado somado com suas derivadas e o -13senx do outro lado.. Isso já é um indicativo de que a resposta certa seria a D), fazendo com que possamos iniciar o teste por ela.
Seria mais complicado se todas as alternativas envolvessem senx (senx, -senx, 2senx, etc...)
Espero ter ajudado.
Bons estudos.
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1
Aqui, usei esse site aqui para escrever as contas:
http://sketchtoy.com/67174834
dá uma olhada, basicamente o que eu fiz foi fazer Y= Yh+Yp
onde a Yh era uma EDOH com coeficientes constantes, logo era só calcular as raízes do polinômio caracterísico pra achar a resposta.
e Yp usei o método dos coeficientes a determinar.
a resposta completa é y = c1*e^(4x) + c2*e^(-3x) + senx
mas qualquer combinação desses itens também serve como resposta, então o senx sozinho é uma resposta.
http://sketchtoy.com/67174834
dá uma olhada, basicamente o que eu fiz foi fazer Y= Yh+Yp
onde a Yh era uma EDOH com coeficientes constantes, logo era só calcular as raízes do polinômio caracterísico pra achar a resposta.
e Yp usei o método dos coeficientes a determinar.
a resposta completa é y = c1*e^(4x) + c2*e^(-3x) + senx
mas qualquer combinação desses itens também serve como resposta, então o senx sozinho é uma resposta.
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