Question

A EDO y''- 2y' + 2y = 0 tem uma solução não nula:
a)y=e^x
b)y=e^-x
c)y=e^x cosx

p.s:a resposta certa é a letra "c", porém meu resultado está diferente, por favor alguém me ajude. Obrigada.

Answer 1

Olá,
temos 3 alternativas.
o que podemos fazer é calcular as derivadas 1ª e 2ª de cada uma delas, substituir na equação e verificar a igualdade:

EDO
y''- 2y' + 2y = 0
 
a) y=e^x
y'=e^x
y''=e^x

Substituindo:
y''- 2y' + 2y = 0
e^x-2(e^x)-2(e^x)=0
-3e^x=0    <--- FALSO

Logo, a alternativa a é FALSA

b) y=e^-x
y'=-e^-x
y''=e^-x

Substituindo:
y''- 2y' + 2y = 0
e^-x -2(-e^-x)-2(e^-x)=0
e^-x=0    <--- FALSO

Logo, a alternativa b é FALSA

c) y=e^x cosx
y'=e^x cosx - e^x senx          y'=u'v+uv'
y''=[e^x cosx - e^x senx] - [e^x senx+e^x cosx] = -2e^x senx

Substituindo:
y''- 2y' + 2y = 0
-2e^x senx -2 [e^x cosx - e^x senx] +2 [e^x cosx] = 0
-2e^x senx -2e^x cosx +2e^x senx +2e^x cosx= 0
(-2+2)e^x senx + (-2+2)e^x cosx = 0
 (0)e^x senx + (0)e^x cosx = 0
0=0  <-------- VERDADEIRO

Portanto, a alternativa c é a correta.

Espero ter ajudado.

Bons estudos