A economia do Império Obeconômico é dominada pela produção de uma especiaria rara chamada Šerbets. Essa produção é monopolizada pela Companhia das Índias Boreais, uma estatal. Para custear as despesas do
Império, Caesar Germanus decidiu otimizar a produção e a venda dessa especiaria. Um dos executivos da Companhia das Índias Boreais, Thomas, estimou que o custo total () = 5. 000 + (^2)/2. Dependendo do preço p, a demanda q(p) = 300 - p. Para maximizar o lucro do império, qual a quantidade otima q e qual o lucro obtido?
a) q=100 10. 000 de lucro
b) q=100 0 de lucro
c)q=300 0
d)q=300 5000 de lucro
e)q=300 10000 de lucro
Soluções para a tarefa
Resposta:
Temos que o lucro π é dado pela receita (R) menos o custo de produção. Ou seja,
π=R−TC
Temos que a receita R é dada pela quantidade de Šerbets vendidos q vezes o preço individual de cada um p, e TC foi dado no enunciado:
R=p×q
TC=5000+q22
Sabemos pela relação dada no enunciado que:
q=300−p
Então, rearranjando a expressão para obter p em função de q, temos:
p=300−q
Assim, podemos substituir o valor de q para obter R apenas em função dessa variável:
R=(300−q)×q
R=300q−q2
Voltando pra expressão original, podemos achar uma relação entre o lucro e a quantidade produzida:
π=300q−q2−(5000+q22)
π=−3q22+300q−5000
Veja que temos uma função de segundo grau, uma parábola com concavidade para baixo. Sendo assim, podemos utilizar cálculo ou apenas as fórmulas já conhecidas para achar o valor máximo do gráfico. Assim, temos que o valor de q para atingirmos o máximo é dado por:
q∗=−(300)2×−32
q∗=100
Colocando o valor encontrado na expressão obtida anteriormente, podemos encontrar qual será o lucro máximo:
π∗=−3(100)22+300(100)−5000
π∗=10000
Explicação:
FONTE: NOIC