Question

A e uma matriz de ordem 4 e seu determinante e igual a 2 o determinante da matriz 3A é​

Answer 1

O determinante da matriz 3A é 162.

Vamos supor que A é uma matriz de ordem n e que o seu determinante é igual a x. Então, o determinante da matriz yA é definido por: $det(yA)=y^n.x$.

De acordo com o enunciado, a matriz A é de ordem 4. Sendo assim, n = 4. Além disso, temos a informação de que o seu determinante é igual a 2. Ou seja, x = 2.

Queremos calcular o determinante da matriz 3A. Então, temos que y = 3.

Com as informações acima obtidas, basta substituir na fórmula dada inicialmente, ou seja,

det(3A) = 3⁴.2

det(3A) = 81.2

det(3A) = 162.

Answer 2

Resposta:

Det (3A) = 162

Explicação passo-a-passo:

Segundo a regra de Sarrus temos que para encontrarmos a determinante de uma matriz A_{xn} tal que x=n (ou seja, uma matriz quadrada) devemos adicionar n-1 colunas à direita da matriz sendo elas cópias das n-1 primeiras colunas de tal forma que nossa determinante será a soma das n diagonais multiplicativas, começando no termo a11, subtraído da soma das outras n diagonais multiplicativas, começando no termo a1n.

Começaremos escrevendo nossas n-1 colunas a mais à direita.

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\\a_{41}&a_{42}&a_{143}&a_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\\a_{41}&a_{42}&a_{143}\\\end{array}\right]$

Em seguida, vamos registrar as diagonais multiplicativas que iremos somar. Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser somada.

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&.&.&.\\\\.&a_{22}&.&.\\\\.&.&a_{33}&.\\\\.&.&.&a_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\end{array}\right] \\\\Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} +$

Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser somada.

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}.&a_{12}&.&.\\\\.&.&a_{23}&.\\\\.&.&.&a_{34}\\\\.&.&.&.\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\\a_{41}&.&.\\\end{array}\right] \\\\Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} +$

E assim também para as próximas duas diagonais. Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser subtraída.

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}.&.&.&.\\\\.&.&.&.\\\\.&.&.&.\\\\.&.&.&a_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&a_{13}\\\\.&a_{22}&.\\\\a_{31}&.&.\\\\.&.&.\\\end{array}\right] \\\\Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} + a_{11}*a_{24}*a_{31}*a_{11} + a_{14}*a_{21}*a_{32}*a_{143} - a_{14}*a_{23}*a_{32}*a_{41} -$

E assim fazemos também com as últimas 3 diagonais até encontrarmos

$Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} + a_{11}*a_{24}*a_{31}*a_{11} + a_{14}*a_{21}*a_{32}*a_{143} - a_{14}*a_{23}*a_{32}*a_{41} - a_{13}*a_{22}*a_{31}*a_{44} - a_{12}*a_{21}*a_{34}*a_{143} - a_{11}*a_{24}*a_{33}*a_{42}$

Vamos agora analisar a matriz 3A

Começaremos escrevendo nossas n-1 colunas a mais à direita.

$3A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}3*a_{11}&3*a_{12}&3*a_{13}&3*a_{14}\\\\3*a_{21}&3*a_{22}&3*a_{23}&3*a_{24}\\\\3*a_{31}&3*a_{32}&3*a_{33}&3*a_{34}\\\\3*a_{41}&3*a_{42}&3*a_{43}&3*a_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3*a_{11}&3*a_{12}&3*a_{13}\\\\3*a_{21}&3*a_{22}&3*a_{23}\\\\3*a_{31}&3*a_{32}&3*a_{33}\\\\3*a_{41}&3*a_{42}&3*a_{43}\\\end{array}\right]$

Realizando todas as operações da mesma forma que para a matriz A encontramos que

$Det(3A) = 3*a_{11}*3*a_{22}*3*a_{33}*3*a_{44} + 3*a_{12}*3*a_{23}*3*a_{34}*3*a_{41} + 3*a_{11}*3*a_{24}*3*a_{31}*3*a_{11} + 3*a_{14}*3*a_{21}*3*a_{32}*3*a_{43} - 3*a_{14}*3*a_{23}*3*a_{32}*3*a_{41} - 3*a_{13}*3*a_{22}*3*a_{31}*3*a_{44} - 3*a_{12}*3*a_{21}*3*a_{34}*3*a_{43} - 3*a_{11}*3*a_{24}*3*a_{33}*3*a_{42}$

$Det(3A) = 3*3*3*3*(a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44}) + 3*3*3*3*(a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41}) + 3*3*3*3*(a_{11}*a_{24}*a_{31}*a_{11}) + 3*3*3*3*(a_{14}*a_{21}*a_{32}*a_{143}) - 3*3*3*3*(a_{14}*a_{23}*a_{32}*a_{41}) - 3*3*3*3*(a_{13}*a_{22}*a_{31}*a_{44}) - 3*3*3*3*(a_{12}*a_{21}*a_{34}*a_{143}) - 3*3*3*3*(a_{11}*a_{24}*a_{33}*a_{42})$

$Det(3A) = 3*3*3*3*(a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} + a_{11}*a_{24}*a_{31}*a_{11} + a_{14}*a_{21}*a_{32}*a_{143} - a_{14}*a_{23}*a_{32}*a_{41} - a_{13}*a_{22}*a_{31}*a_{44} - a_{12}*a_{21}*a_{34}*a_{143} - a_{11}*a_{24}*a_{33}*a_{42})$

$Det(3A) = 3^{4} (a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} + a_{11}*a_{24}*a_{31}*a_{11} + a_{14}*a_{21}*a_{32}*a_{143} - a_{14}*a_{23}*a_{32}*a_{41} - a_{13}*a_{22}*a_{31}*a_{44} - a_{12}*a_{21}*a_{34}*a_{143} - a_{11}*a_{24}*a_{33}*a_{42})$

$Det(3A) = 3^{4} * Det A$

Portanto temos que

Det (3A) = 81 * Det (A)

Det (3A) = 81 * 2

Det (3A) = 162

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Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦ "

"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."