Question

A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável aleatória Normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km. a. Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual a proporção de pneus que deverão ser trocados pela garantia? b. O que aconteceria com a proporção do item (a), se a garantia fosse para os primeiros 45.000 km? c. Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus? d. Se você comprar 4 pneus Rdabem, qual será a probabilidade de que você utilizará a garantia (45.000 km) para trocar um ou mais destes pneus?

Answer 1

Boa noite!

Para responder, precisará de uma tabela de distribuição normal.
Irei anexar uma a esta resposta.
a)
Quantos pneus terão durabilidade menor do que 48.000km?
$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\\z=\dfrac{48\,000-60\,000}{8\,300}\\z=\dfrac{-12\,000}{8\,300}\approx -1,45$

Agora, procurando este valor na tabela, obtemos:
$P(0<z<1,45)=0,42647$

Mas o que se pede é:
$P(z<-1,45)=0,5-p(-1,45<z<0)=0,5-p(0<z<1,45)=0,5-0,42647=0,07353=7,353\%$

b)
Calculando agora para 45.000km
$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\\z=\dfrac{45\,000-60\,000}{8\,300}\\z=\dfrac{-15\,000}{8\,300}\approx -1,81$

Agora, procurando este valor na tabela, obtemos:
$P(0<z<1,81)=0,46485$

Mas o que se pede é:
$P(z<-1,81)=0,5-p(-1,81<z<0)=0,5-p(0<z<1,81)=0,5-0,46485=0,03515=3,515\%$

c)
Agora queremos trocar somente 2% dos pneus, então:
$P(z<Z)=0,5-p(0<z<Z)=2\%=0,02\\p(0<z<Z)=0,5-0,02=0,48\\Z\approx -2,05$

Calculando agora o valor da km:
$Z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\\-2,05=\dfrac{x-48\,000}{8\,300}\\x-48\,000=-2,05\cdot 8\,300\\x=48\,000-17\,015\\x=30\,985$

Ou seja, 31.000km.

d)
Se for 45.000km, a probabilidade de trocar um é de 3,515%.
Trocar = 3,515%
Não trocar = 100% - 3,515% = 95,485%
A probabilidade de troar um ou mais (seriam um, dois, três ou quatro) é o complemento de 100% menor a probabilidade de não trocarmos nenhum dos 4 pneus.
Então:
$P(x\geqslant 1)=1-P(x=0)=1-\binom{4}{0}\cdot(3,515\%)^0\cdot(96,485\%)^{4-0}\\P(x\geqslant 1)=1-0,96485^4\approx 0,13336=13,336\%$

Espero ter ajudado!