Question

A dízima periódica 3,141414... é uma boa
aproximação para PI
. Determine a fração
geratriz dessa dízima

Answer 1

Resposta:

A fração geratriz é $\frac{311}{9}$.

Explicação passo-a-passo:

Olá! O enunciado nos pede a fração geratriz, ou seja, a divisão de um numerador pelo denominador. Para calculá-la, precisamos seguir alguns passos:

I. Transformar a dízima periódica em uma equação do 1° grau. Para isso, vamos atribuir a ela uma incógnita:

$x = 3,141414...$

II. Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. Para determinar o múltiplo, observe quantos algarismos se repetem após a vírgula:

$3,141414...$

Dois algarismos se repetem: 1 e 4. Logo, o múltiplo de 10 será o número 100.

$100 . x = 100 . 3,141414...\\100x = 314,141414...$

III. Subtrair as duas equações:

$100x = 314,141414...\\- x = 3,141414...\\\\99x = 311$

IV. Com a última equação, isolaremos a incógnita e chegaremos a uma fração.

$x = \frac{311}{99}$

Perceba que:

$\frac{311}{9} = 3,141414...$

Logo, a fração geratriz da dízima periódica $3,141414...$ é $\frac{311}{99}$.

Espero ter ajudado! Bons estudos!