Question

A dizima periódica 0,7777..... é igual a:
A) 7/10
B) 7/99
C) 7/9
D) 9/7

Answer 1

A resposta correta é letra C

Answer 2

O cálculo da fração geratriz se dá da seguinte maneira:
Primeiramente identificamos o período e o anti-período da dízima. Nesse caso:
0,7777 ⇒ 7 é o período, pois é o número que se repete. A dízima não possui anti-período.

Agora, para montar a fração devemos considerar:
Para o denominador, acrescentamos um 9 para cada número do período e um 0 para cada número do anti-período. Ou seja:
Na dízima há apenas um número que se repete (período), o 7, portanto nossa fração estará , apenas um 9 pois só há um número.

Para encontrar o numerador é mais complicado. Primeiramente você precisa identificar os números que não se repetem na dízima. Uma dízima com número antes do perídio seria 7,2888... por exemplo, onde 8 seria o período, 2 o anti-período e 7 o algarismo antes do período que não se repete, nesse caso, para montar o numerado, você teria que colocar a parte que não se repete, 7 e 2, seguida do período, 8, subtraída apenas da parte que não se repete novamente, ou seja, 728 - 72, este seria o numerador da fração dessa dízima. Portanto, nesse caso, para a dízima 0,777..., aplicando a regra o resultado será o mesmo. Parte que não se repete (0) seguida da que se repete (7), subtraída da que não se repete (- 0). Ou seja, 07 - 0, que equivale a 7. Portanto, você terá $\frac{7}{}$ nessa fração.

Isso foi a demonstração para que ficasse compreensível o porque de ser apenas o próprio número da dízima no numerador, mas em casos mais comuns vale mais a pena se lembrar de que qualquer dízima com um número só no período (0,444; 0,222; 0,888; etc) vai ser sempre o próprio número do período dividido por 9, pois o nove indica que é apenas um número nesse período (se fosse 0,2323... por exemplo, seria 23/99).

Portanto, a fração para a dízima 0,777... é $\frac{7}{9}$, alternativa C.