Question

A distância focal da elipse de equação 3x² + 4y² = 36 é

0 pontos

a) 6

b) 3

c) √3

d) 2√3

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Answer 1

Temos a seguinte equação elíptica:

$\sf 3x {}^{2} + 4y {}^{2} = 36$

Note que essa equação não está no formato de equação reduzida, mas sim na forma geral, então teremos que fazer algo pra deixá-la no modo reduzido.

• Vai ser bem simples fazer isso, pois basta você dividir toda a equação por 36:

$\sf \frac{3x {}^{2} }{36} + \frac{4y {}^{2} }{ 36} = \frac{36}{36} \\ \sf \frac{x {}^{2} }{ 12} + \frac{y {}^{2} }{9} = 1 \: \: \: \: \: \: \:$

Tendo a forma reduzida, tudo fica mais fácil.

• Quando o maior valor está abaixo de x², quer dizer então que essa elipse possui o seu maior eixo sobre o eixo das abscissas, logo possuirá esse formato de equação:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Fazendo uma comparação dessas expressões, temos que:

$\sf \begin{cases} \sf a {}^{2} =12 \\ \sf a = \sqrt{12} \\ \sf a = 2 \sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} \sf b {}^{2} = 9 \\ \sf b = \sqrt{9} \\ \sf b = 3 \end{cases}$

Temos "a" e "b", para encontrar o valor do Foco "c", basta substituir os dados na relação de Pitágoras:

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf (2 \sqrt{3} ) {}^{2} = 3 {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 12 = 9 + c {}^{2} \\ \sf 12 - 9 = c {}^{2} \\ \sf 3 = c {}^{2} \\ \sf c = \sqrt{3}$

Pronto, praticamente acabamos a questão, pois como sabemos, a distância focal é dada pela multiplicação do valor de "c" por 2.

$\sf d = 2c \\ \sf d = 2. \sqrt{3} \\ \boxed{\sf d = 2 \sqrt{3} }$

Espero ter ajudado