Question

A distância entre os pontos a (-2,y) e b (6,7) é 10. O valor de y é:

Answer 1

O valor de y no ponto a (-2, y) que apresenta distância 10 do ponto b (6, 7) é de 1 ou 13.

Geometria Analítica

A área da matemática que estuda pontos dispostos em um plano cartesiano é denominada de Geometria Analítica. Neste sentido, este ramo de estudo nos fornece alguns recursos que podemos utilizar neste exercício. Assim, vamos utilizar aqui a fórmula da distância entre pontos, que é:

$D=\sqrt{(xb - xa)^{2} + (yb - ya)^2}$

Aplicando a fórmula aos nossos valores, teremos que:

$10=\sqrt{[6 - (-2)]^{2} + (7- y)^2}$

$10=\sqrt{(6 + 2)^{2} + (7- y)^2}$

$10=\sqrt{8^{2} + (7- y)^2}$

$10=\sqrt{64 + (7- y)^2}$

Aqui elevaremos os dois lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada. Logo:

$10^2=\sqrt{64 + (7- y)^2}^2$

$100={64 + (7- y)^2}$

$100=64 + 49-7y-7y+y^2$

$100=113-14y+y^2$

$0 = 113-100-14y+y^2$

$y^2-14y+13=0$

Assim, obtivemos uma equação de segundo grau, que pode ser resolvida através da fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-14)² - 4 × 1 × 13

Δ = 196 - 52

Δ = 144

y = (-b ± √Δ)/2a

y = [-(-14) ± √144]/2

y = (14 ± 12)/2

y' = 14 + 12/2

y' = 26/2

y' = 13

y" = 14 - 12/2

y" = 2/2

y" = 1

Assim, concluímos que o valor de y pode ser 13 ou 1. Logo, as coordenadas do ponto a são (-2, 1) ou (-2 e 13).

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