Question

A distancia entre os pontos A(-2,Y) e B(6,7) é 10. Encontre o valor de y.
Resposta que encontrei:

     Portanto o ponto pode ser (-2, 1) e (-2, 13)

Alguém pode explicar como foi encontrado o -14y?

Answer 1

Olá , boa tarde !

Vamos usar a fórmula de distância :

Fórmula :

D=raiz (x1- x2)^2 + (y1-y2)^2

Vamos botar os números na fórmula :

10= raiz (6-(-2)^2 + (7-y)^2

Agora vamos somar os valores entre parênteses para depois elevar ao quadrado .

10= raiz (8)^2 + (7- y)^2

Agora sim depois de resolvemos a subtração que tinhamos entre parênteses assim como sempre que tem algo em parênteses se resolvi primeiro ele depois o restante , agora vamos elevar.

10= raiz (64)+(7-y)^2

Agora vamos elevar ao quadrado novamente so que agora para tirar a raiz .

10^2=(raiz 64 + (7-y)^2)^2

Agora vamos realizar o processo de elevar ao quadrado e depois multiplicar o que estar entre parêntese no caso o (7-y)^2 para podemos obter uma equação.

100=64 + (7-y)^2

Como podemos ver elevando ao quadrado pode ser retirada a raiz, resolver agora :

100= 64 + 49 -14 y + y^2

Novamente porque os valores 49 e 14y apareçam ?

Por que foi feita a multiplicação de entre parêntese e elevado ao quadrado .

Agora vamos mudar as letras e os números de lugar o que tivemos de letras mudamos para o 1 membro e o que tivemos de números para o 2 membro e igualando a zero .

Y^2-14y+49+64-100=0

Resolvendo :

y^2 = y
49 + 64 - 100 = 13

Agora armando a equação , formamos uma equação de 2 grau .

Y-14y +13 =0

Como temos os valores a , b e c .

Vamos usar a fórmula Bhaskara .

Delta=b^2 - 4 × a × c
Delta=14 ^2 - 4 × 1 × 13
Delta= 196 - 52
Delta= 144

Obtemos o nosso delta que vamos usar na segunda parte da fórmula :

Y=- b + - raiz de delta / 2 × a

Y=-(-14)+ - raiz de 144 /2 × 1

Y1 = 14 + 12 / 2

Y1=26 /2

Y1 = 13


Y2 =14 - 12 / 2

Y2=2 /3

Y=1

Portanto o ponto pode ser (-2,1) (-2,13).

Abraços.

Answer 2

Olá!

Vamos calcular a distância entre dois pontos usando o Teorema de Pitágoras, vejamos a fórmula a ser usada:

$d^2_{AB} = (x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2}$

$\sqrt{d^2_{AB}} = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2}}$

$\boxed{d_{AB} = \sqrt{( x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2}}$

*distância de A até B:

dados:

$d_{AB} = 10$
$x_{B} = 6$
$x_{A} = - 2$
$y_{B} = 7$
$y_{A} = ?$

Vamos substituir os dados à fórmula que determina a distância, vejamos:

$d_{AB} = \sqrt{( x_{B} - x_{A})^2 + (y_{B} - y_{A})^2}$

$10 = \sqrt{[6 - (-2)]^2 + (7 - y_{A})^2}$

$10 = \sqrt{8^2 + 7^2-2*7*y_A+y_A^2}$

$10 = \sqrt{64 + 49-14y_A+y_A^2}$

$10 = \sqrt{113-14y_A+y_A^2}$

elevamos ao quadrado os dois lados 

$(10)^2 = (\sqrt{113-14y_A+y_A^2})^2$

$100 = 113-14y_A+y_A^2$

$y_A^2-14y_A+113-100 = 0$

$y_A^2-14y_A+13 = 0$

Agora, vamos encontrar as raízes por Bháskara

Se: 
a = 1; b = - 14,  c = 13

$\Delta = b^2-4*a*c$

$\Delta = (-14)^2-4*1*13$

$\Delta = 196-52$

$\Delta = 144$

$y = \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2*a}$

$y = \dfrac{-(-14)\pm \sqrt{144} }{2*1}$

$y = \dfrac{14\pm 12 }{2}$

$y' = \dfrac{14-12}{2} \to y' = \dfrac{2}{2} \to \boxed{y' = 1}$

$y'' = \dfrac{14+12}{2} \to y' = \dfrac{26}{2} \to \boxed{y'' = 13}$


Resposta:

Portanto o ponto pode ser $\boxed{\boxed{(-2, 1)\:e\:(-2, 13)}}\end{array}}\qquad\checkmark$

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Obs: O valor -14y resulta das multiplicações feitas no produto notável do quadrado da diferença de dois termos:

$(7 - y_{A})^2 = 7^2-2*7*y_A+y_A^2 = 49 \underbrace{- 14y}+y_A^2$


Espero ter ajudado! =)