Question

A distância entre os pontos A(1,8) e B(x, -2) é 2√29. Determine a abscissa do ponto B.​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Dados dois pontos de coordenadas $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$, a distância $d$ entre eles é calculada pela fórmula: $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.

Então, sejam os pontos $A~(1,~8)$ e $B~(x,\,-2)$. Sabendo que a distância entre eles é igual a $2\sqrt{29}$, devemos determinar a abscissa do ponto $B$.

Substituindo as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ e a distância $d=2\sqrt{29}$ na fórmula, temos:

$2\sqrt{29}=\sqrt{(1-x)^2+(8-(-2))^2}$

Some os valores entre parênteses e calcule a potência

$2\sqrt{29}=\sqrt{(1-x)^2+10^2}\\\\\\ 2\sqrt{29}=\sqrt{(1-x)^2+100}$

Eleve ambos os lados da equação à segunda potência

$(2\sqrt{29})^2=(\sqrt{(1-x)^2+100})^2\\\\\\ 116=(1-x)^2+100$

Subtraia $100$ em ambos os lados da equação

$(1-x)^2+100-\bold{100}=116-\bold{100}\\\\\ (1-x)^2=16$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$\sqrt{(1-x)^2}=\sqrt{16}\\\\\\ |1-x|=4$

Então, sabendo que a função modular $|a|=\begin{cases}a,~se~a>0\\-a,~se~a<0\\\end{cases}$, temos duas possíveis soluções:

$1-x=-4~~\bold{ou}~~1-x=4$

Resolvendo ambas as equações, temos:

$x=5~~\bold{ou}~~x=-3$

Estas são as possíveis abscissas do ponto $B$ de modo que sua distância ao ponto $A$ seja igual a $2\sqrt{29}$.