Question

A distância entre o ponto A(2, -8) e um ponto Q da bissetriz dos quadrantes pares é 2 raíz de 5. Determine o ponto Q.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Analuíza, que a resolução é simples.

Pede-se para determinar a distância de um ponto A(2; -8) a um ponto Q(x; y), sabendo-se que esse ponto Q(x. y) está na reta bissetriz dos quadrantes pares dos eixos coordenados.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que se o ponto Q(x; y) está na reta bissetriz dos quadrantes pares dos eixos coordenados, então essa reta será:

y = - x         .  (I)  <--- Esta é a reta que representa a bissetriz dos quadrantes pares.

Ora,  se "y" é igual a "-x", como estamos vendo na expressão (I) acima, então poderemos expressar as coordenadas do ponto Q(x; y) da seguinte forma:
Q(x; -x) <--- Já que, como vimos, a reta que representa a bissetriz dos quadrantes pares é: y = - x.

ii) Agora vamos encontrar a distância (d) de A(2; -8) a Q(x; -x) .
Assim, teremos:

d² = (x-2)² + (-x-(-8))²
d² = (x-2)² + (-x+8)² ----- mas como já foi dado que essa distância é igual a 2√(5), então substituiremos "d" por esse valor. Assim:

[2√(5)]² = (x-2)² + (-x+8)² ---- desenvolvendo, teremos:
4*5 = x²-4x+4 + x²-16x+64
20 = x² - 4x + 4 + x² - 16x + 64 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
20 = 2x² - 20x + 68 ---- vamos passar "20" para o 2º membro e vamos inverter, ficando assim:

2x² - 20x + 68 - 20 = 0 ----- ou apenas:
2x² - 20x + 48 = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos com:

x² - 10x + 24 = 0 ----- note: se você aplicar a fórmula de Bháskara, vai encontrar que as raízes serão estas:

x' = 4
x'' = 6

iii) Como já encontramos que "x" poderá ser "4" ou "6", então o ponto Q(x; -x) poderá ser um destes:

Q(4; -4) ou Q(6; -6) <--- Esta é a resposta. Este é o ponto Q(x; -x) procurado.

Note, a propósito, que a distância de A(2; -8) a Q(4; -4) ou a Q(6; -6), em ambas as hipóteses essa distância é igual a 2√(5).
Veja como isso é verdade:

iii.1) Distância (d) de A(2; -8) a Q(4; -4):

d² = (4-2)² + (-4-(-8))²
d² = (2)² + (-4+8)²
d² = (2)² + (4)²
d² = 4 + 16
d² = 20
d = +-√(20) ------ veja que 20 = 2².5 . Assim:
d = +-√(2².5) ----- o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos:

d = +-2√(5) ---- como nenhuma distância é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 2√(5) <--- Perfeito. Então a distância de A(2; -8) a Q(4; -4) está verificada.

iii.2) Distância (d) de A(2; -8) a Q(6; -6):

d² = (6-2)² + (-6-(-8))²
d² = (4)² + (-6+8)²
d² = (4)² + (2)²
d² = 16 + 4
d² = 20
d = +-√(20) ---- que é, como já vimos antes igual a 2√(5). Assim:
d = +-2√(5) ---- e, tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:
d = 2√(5) ---- Perfeito. Ou seja está verificada também a distância de A(2; -8) a Q(6; -6).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.