Question

a distância entre o ponto A (2,-8) e um ponto Q da bissetriz dos quadrantes pares 2raiz de 5. Determine o ponto Q

Answer 1

Se Q pertence à bissetriz dos quadrantes pares  e A pertence ao 1° quadrante, então Q é da forma Q(a,-a).
d² = (xQ - xA)² + (yQ - yA)²
(2√5)² =(a - 2)² + (-a + 8)²
20 = a² - 4a + 4 + a² - 16a + 64
2a² - 20 a + 48 = 0
a² - 10a + 24 = 0
Δ = (-10)² - 4.1.24
Δ = 100 - 96
Δ = 4
a = (10-2)/2 = 4 ou
a = (10 + 2)/2 = 6

Logo Q(6,-6) ou Q(4,-4)

Answer 2

O ponto Q é (6, -6) ou (4, -4).

Se Q pertence a bissetriz dos quadrantes pares, ele pertence a reta y = -x, ou seja, suas coordenadas são opostas (a, -a). A distância entre dois pontos no plano é calculada pela fórmula:

d(A,B) = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]

Como sabemos que d(A,Q) = 2√5, temos que:

2√5 = √[(a-2)² + (-a-(-8))²]

2√5 = √[a² - 4a + 4 + a² - 16a + 64]

2√5 = √[2a² - 20a + 68]

Elevando os dois membros ao quadrado, temos:

20 = 2a² - 20a + 68

2a² - 20a + 48 = 0

a² - 10a + 24 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos que a' = 6 e a'' = 4. Portanto, como A está no terceiro quadrante, o ponto Q é (6, -6) ou (4, -4)