Question

A distância entre dois pontos consecutivos, horizontais ou verticais, é igual a 1. Qual é a área da região comum ao triângulo e ao quadrado apresentados?​

Answer 1

Vou resolver essa questão utilizando o conceito de função.

Como a área total do quadradinho central é 1, só precisamos achar quanto vale a área do triangulozinho que está para fora em branco.

Se você nomear os pontos na horizontal, da esquerda para a direita, 0, 1, 2 e 3. E os pontos na vertical 0, 1, 2 e 3 também. Como na figura em anexo.

Agora, podemos encontrar a equação da reta vermelha.

Sabendo que:

$y = a \cdot x + b$

Quando x vale 0, y vale 3:

$3 = a \cdot 0 + b$

$b = 3$

Quando x vale 3, y vale 1:

$1 = a \cdot 3 + 3$

$3 \cdot a = 1 - 3$

$a = \dfrac{-2}{3}$

Ou seja, a função afim desta reta é dada por:

$\boxed{y = -\dfrac{2}{3}\cdot x + 3}$

Agora, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos onde a reta vermelha cruza com a reta azul (y=2) e a reta laranja (x=2). Para isso podemos igualar as equações.

Para que as retas azul e vermelha se intersectem:

$-\dfrac{2}{3}\cdot x + 3 = 2$

$-\dfrac{2}{3} \cdot x= 2-3$

$-\dfrac{2}{3} \cdot x= -1$

$-2 \cdot x= -3$

$x = \dfrac{-3}{-2}$

$x = 1,5$

Ou seja, a reta vermelha corta exatamente no meio entre x = 1 e x = 2 e o comprimento da base deste pequeno triângulo branco é:

$b = 2 - \dfrac{3}{2}$

$b = \dfrac{4}{2} - \dfrac{3}{2}$

$b = \dfrac{1}{2}$

Para encontrarmos a altura, calculamos quanto vale y quando a reta vermelha tem x = 2:

$y = -\dfrac{2}{3}\cdot 2 + 3$

$y = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{9}{3}$

$y = \dfrac{5}{3}$

Para calcular a altura do triângulo pequenino calculamos a diferença entre y = 2 e y = 5/3:

$h = 2-\dfrac{5}{3}$

$h = \dfrac{6}{3}-\dfrac{5}{3}$

$h = \dfrac{1}{3}$

Ou seja, a base vale $\dfrac{1}{2}$ e a altura vale $\dfrac{1}{3}$. A área do triângulo retângulo é dada por:

$A_t = \dfrac{b \cdot h}{2}$

Assim:

$A_t = \dfrac{\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}\right)}{\left(\dfrac{2}{1}\right)}$

$A_t = \dfrac{\left(\dfrac{1}{6}\right)}{\left(\dfrac{2}{1}\right)}$

$A_t = \dfrac{1}{12}$

Assim, a área em vermelho que nós queremos descobrir é a área do quadradinho central menos a área do triângulo pequeno que acabamos de calcular:

$A = A_q - A_t$

$A = 1 - \dfrac{1}{12}$

$A = \dfrac{12}{12} - \dfrac{1}{12}$

$\boxed{A = \dfrac{11}{12}}$