Question

A DISTANCIA DO PONTO P (1, 2, 3) ao plano 3x + 4y - 5z - 1 = 0 é:

Answer 1

Dado um ponto $P(x_{_{P}};\,y_{_{P}};\,z_{_{P}})$ e a equação geral do plano

$\alpha:\;ax+by+cz+d=0$


a distância do ponto $P$ ao plano $\alpha$ é dada por

$d_{P,\,\alpha}=\dfrac{\left|ax_{_{P}}+by_{_{P}}+cz_{_{P}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$


Então, dado o ponto $P(1;\,2;\,3)$ e a equação do plano

$\alpha:\;3x+4y-5z-1=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=3\\b=4\\c=-5\\d=-1 \end{array} \right.$


a distância procurada é

$d_{P,\,\alpha}=\dfrac{\left|3x_{_{P}}+4y_{_{P}}-5z_{_{P}}-1\right|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-5)^{2}}}\\ \\ \\ d_{P,\,\alpha}=\dfrac{\left|3\cdot 1+4\cdot 2-5\cdot 3-1\right|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-5)^{2}}}\\ \\ \\ d_{P,\,\alpha}=\dfrac{\left|3+8-15-1\right|}{\sqrt{9+16+25}}\\ \\ \\ d_{P,\,\alpha}=\dfrac{\left|-5\right|}{\sqrt{50}}\\ \\ \\ d_{P,\,\alpha}=\dfrac{5}{\sqrt{25\cdot 2}}\\ \\ \\ d_{P,\,\alpha}=\dfrac{5}{\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}}\\ \\ \\ d_{P,\,\alpha}=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 5}{\diagup\!\!\!\! 5\sqrt{2}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}d_{P,\,\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ u.c.} \end{array}}$