Question

A distância de uma locomotiva à estação de partida é dada pela fórmula s(t) = 3t⁴−44t³ + 144t². Determine o instante depois do qual, pela primeira vez, a locomotiva passa a se aproximar da origem.

Answer 1

Vamos inicialmente calcular os pontos críticos da função. Estes são os pontos para os quais a sua derivada é nula, logo:

$S'(t)=0$

$12t^3-44\cdot3t^2+144\cdot2t=0$

Dividindo ambos os lados da igualdade por 4:

$3t^3-11\cdot3t^2+36\cdot2t=0$

Dividindo agora por 3:

$t^3-11t^2+12\cdot2t=0$

$t^3-11t^2+24t=0$

$t(t^2-11t+24)=0$

Desconsiderando a solução $t=0$, ficamos com a relação $t^2-11t+24=0$. Aplicando a fórmula de Bhaskara:

$t=\frac{11\pm\sqrt{11^2-4\cdot24}}{2}$

$t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{2}$

$t=\frac{11\pm\sqrt{25}}{2}$

$t=\frac{11\pm5}{2}$

Tirando daí as soluções $t=3$ e $t=8$. Para determinar se os pontos são de máximo ou mínimo, devemos calcular o valor da 2º derivada da função para tais valores. Temos então que:

$S''(t)=36t^2-44\cdot6t+144\cdot2$

$S''(t)=36t^2-264t+288$

Se $t=3$ for um ponto de máximo, então essa é a resposta da questão, pois para $t<3$ a função estará crescendo (se distanciando da origem) e para $t>3$ ela estará decrescendo (se aproximando da origem). Para que isso ocorra, $S''(3)$ deve ser negativo. Calculando:

$S''(3)=36\cdot9-264\cdot3+288$

$S''(3)=324-792+288$

$S''(3)=-180$

Como $S''(3)<0$,este é um ponto de mínimo, concluindo assim que a resposta da questão é o instante $t=3$.